حل {l}{-8x+3y=11}{x-3y=-4}

$$\left. \begin{array} { l } { - 8 x + 3 y = 11 } \\ { x - 3 y = - 4 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-1$$

$$y=1$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$-8x+3y=11,x-3y=-4$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$-8x+3y=11$$

اطرح 3y من طرفي المعادلة.

$$-8x=-3y+11$$

قسمة طرفي المعادلة على -8.

$$x=-\frac{1}{8}\left(-3y+11\right)$$

اضرب -\frac{1}{8} في -3y+11.

$$x=\frac{3}{8}y-\frac{11}{8}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{3y-11}{8} في المعادلة الأخرى، x-3y=-4.

$$\frac{3}{8}y-\frac{11}{8}-3y=-4$$

اجمع \frac{3y}{8} مع -3y.

$$-\frac{21}{8}y-\frac{11}{8}=-4$$

أضف \frac{11}{8} إلى طرفي المعادلة.

$$-\frac{21}{8}y=-\frac{21}{8}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{21}{8}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=1$$

عوّض عن y بالقيمة 1 في x=\frac{3}{8}y-\frac{11}{8}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{3-11}{8}$$

اجمع -\frac{11}{8} مع \frac{3}{8} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-1,y=1$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$-8x+3y=11,x-3y=-4$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}-8&3\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\-4\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}-8&3\\1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&3\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&3\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&3\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\-4\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&3\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\-4\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&3\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\-4\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-8\left(-3\right)-3}&-\frac{3}{-8\left(-3\right)-3}\\-\frac{1}{-8\left(-3\right)-3}&-\frac{8}{-8\left(-3\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\-4\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{1}{21}&-\frac{8}{21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\-4\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\times 11-\frac{1}{7}\left(-4\right)\\-\frac{1}{21}\times 11-\frac{8}{21}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-1,y=1$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$-8x+3y=11,x-3y=-4$$

لجعل -8x وx متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في -8.

$$-8x+3y=11,-8x-8\left(-3\right)y=-8\left(-4\right)$$

تبسيط.

$$-8x+3y=11,-8x+24y=32$$

اطرح -8x+24y=32 من -8x+3y=11 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-8x+8x+3y-24y=11-32$$

اجمع -8x مع 8x. حذف الحدين -8x و8x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$3y-24y=11-32$$

اجمع 3y مع -24y.

$$-21y=11-32$$

اجمع 11 مع -32.

$$-21y=-21$$

قسمة طرفي المعادلة على -21.

$$y=1$$

عوّض عن y بالقيمة 1 في x-3y=-4. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x-3=-4$$

أضف 3 إلى طرفي المعادلة.

$$x=-1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-1,y=1$$