حل {l}{-7x+2y=-24}{5x-y=18}

$$\left. \begin{array} { l } { - 7 x + 2 y = - 24 } \\ { 5 x - y = 18 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=4$$

$$y=2$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$-7x+2y=-24,5x-y=18$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$-7x+2y=-24$$

اطرح 2y من طرفي المعادلة.

$$-7x=-2y-24$$

قسمة طرفي المعادلة على -7.

$$x=-\frac{1}{7}\left(-2y-24\right)$$

اضرب -\frac{1}{7} في -2y-24.

$$x=\frac{2}{7}y+\frac{24}{7}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{24+2y}{7} في المعادلة الأخرى، 5x-y=18.

$$5\left(\frac{2}{7}y+\frac{24}{7}\right)-y=18$$

اضرب 5 في \frac{24+2y}{7}.

$$\frac{10}{7}y+\frac{120}{7}-y=18$$

اجمع \frac{10y}{7} مع -y.

$$\frac{3}{7}y+\frac{120}{7}=18$$

اطرح \frac{120}{7} من طرفي المعادلة.

$$\frac{3}{7}y=\frac{6}{7}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{3}{7}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=2$$

عوّض عن y بالقيمة 2 في x=\frac{2}{7}y+\frac{24}{7}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{2}{7}\times 2+\frac{24}{7}$$

اضرب \frac{2}{7} في 2.

$$x=\frac{4+24}{7}$$

اجمع \frac{24}{7} مع \frac{4}{7} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=4$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=4,y=2$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$-7x+2y=-24,5x-y=18$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}-7&2\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-24\\18\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}-7&2\\5&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-7&2\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7&2\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&2\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\18\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&2\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\18\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&2\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\18\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-7\left(-1\right)-2\times 5}&-\frac{2}{-7\left(-1\right)-2\times 5}\\-\frac{5}{-7\left(-1\right)-2\times 5}&-\frac{7}{-7\left(-1\right)-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\18\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{5}{3}&\frac{7}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\18\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\left(-24\right)+\frac{2}{3}\times 18\\\frac{5}{3}\left(-24\right)+\frac{7}{3}\times 18\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=4,y=2$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$-7x+2y=-24,5x-y=18$$

لجعل -7x و5x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 5 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في -7.

$$5\left(-7\right)x+5\times 2y=5\left(-24\right),-7\times 5x-7\left(-1\right)y=-7\times 18$$

تبسيط.

$$-35x+10y=-120,-35x+7y=-126$$

اطرح -35x+7y=-126 من -35x+10y=-120 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-35x+35x+10y-7y=-120+126$$

اجمع -35x مع 35x. حذف الحدين -35x و35x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$10y-7y=-120+126$$

اجمع 10y مع -7y.

$$3y=-120+126$$

اجمع -120 مع 126.

$$3y=6$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$y=2$$

عوّض عن y بالقيمة 2 في 5x-y=18. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$5x-2=18$$

أضف 2 إلى طرفي المعادلة.

$$5x=20$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=4$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=4,y=2$$