حل {l}{-6x-y=-12}{2x-y=12}

$$\left. \begin{array} { l } { - 6 x - y = - 12 } \\ { 2 x - y = 12 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=3$$

$$y=-6$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$-6x-y=-12,2x-y=12$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$-6x-y=-12$$

أضف y إلى طرفي المعادلة.

$$-6x=y-12$$

قسمة طرفي المعادلة على -6.

$$x=-\frac{1}{6}\left(y-12\right)$$

اضرب -\frac{1}{6} في y-12.

$$x=-\frac{1}{6}y+2$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{y}{6}+2 في المعادلة الأخرى، 2x-y=12.

$$2\left(-\frac{1}{6}y+2\right)-y=12$$

اضرب 2 في -\frac{y}{6}+2.

$$-\frac{1}{3}y+4-y=12$$

اجمع -\frac{y}{3} مع -y.

$$-\frac{4}{3}y+4=12$$

اطرح 4 من طرفي المعادلة.

$$-\frac{4}{3}y=8$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{4}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-6$$

عوّض عن y بالقيمة -6 في x=-\frac{1}{6}y+2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{1}{6}\left(-6\right)+2$$

اضرب -\frac{1}{6} في -6.

$$x=1+2$$

اجمع 2 مع 1.

$$x=3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=3,y=-6$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$-6x-y=-12,2x-y=12$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}-6&-1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\12\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}-6&-1\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-6&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6&-1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\12\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\12\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\12\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-6\left(-1\right)-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{-6\left(-1\right)-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{-6\left(-1\right)-\left(-2\right)}&-\frac{6}{-6\left(-1\right)-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\12\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\\-\frac{1}{4}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\12\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{8}\left(-12\right)+\frac{1}{8}\times 12\\-\frac{1}{4}\left(-12\right)-\frac{3}{4}\times 12\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-6\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=3,y=-6$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$-6x-y=-12,2x-y=12$$

اطرح 2x-y=12 من -6x-y=-12 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-6x-2x-y+y=-12-12$$

اجمع -y مع y. حذف الحدين -y وy، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-6x-2x=-12-12$$

اجمع -6x مع -2x.

$$-8x=-12-12$$

اجمع -12 مع -12.

$$-8x=-24$$

قسمة طرفي المعادلة على -8.

$$x=3$$

عوّض عن x بالقيمة 3 في 2x-y=12. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$2\times 3-y=12$$

اضرب 2 في 3.

$$6-y=12$$

اطرح 6 من طرفي المعادلة.

$$-y=6$$

قسمة طرفي المعادلة على -1.

$$y=-6$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=3,y=-6$$