حل {l}{-6x+5y=1}{6x+4y=-10}

$$\left. \begin{array} { l } { - 6 x + 5 y = 1 } \\ { 6 x + 4 y = - 10 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-1$$

$$y=-1$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$-6x+5y=1,6x+4y=-10$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$-6x+5y=1$$

اطرح 5y من طرفي المعادلة.

$$-6x=-5y+1$$

قسمة طرفي المعادلة على -6.

$$x=-\frac{1}{6}\left(-5y+1\right)$$

اضرب -\frac{1}{6} في -5y+1.

$$x=\frac{5}{6}y-\frac{1}{6}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{5y-1}{6} في المعادلة الأخرى، 6x+4y=-10.

$$6\left(\frac{5}{6}y-\frac{1}{6}\right)+4y=-10$$

اضرب 6 في \frac{5y-1}{6}.

$$5y-1+4y=-10$$

اجمع 5y مع 4y.

$$9y-1=-10$$

أضف 1 إلى طرفي المعادلة.

$$9y=-9$$

قسمة طرفي المعادلة على 9.

$$y=-1$$

عوّض عن y بالقيمة -1 في x=\frac{5}{6}y-\frac{1}{6}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{5}{6}\left(-1\right)-\frac{1}{6}$$

اضرب \frac{5}{6} في -1.

$$x=\frac{-5-1}{6}$$

اجمع -\frac{1}{6} مع -\frac{5}{6} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-1,y=-1$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$-6x+5y=1,6x+4y=-10$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}-6&5\\6&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}-6&5\\6&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-6&5\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6&5\\6&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&5\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&5\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&5\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{-6\times 4-5\times 6}&-\frac{5}{-6\times 4-5\times 6}\\-\frac{6}{-6\times 4-5\times 6}&-\frac{6}{-6\times 4-5\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{27}&\frac{5}{54}\\\frac{1}{9}&\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{27}+\frac{5}{54}\left(-10\right)\\\frac{1}{9}+\frac{1}{9}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-1,y=-1$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$-6x+5y=1,6x+4y=-10$$

لجعل -6x و6x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 6 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في -6.

$$6\left(-6\right)x+6\times 5y=6,-6\times 6x-6\times 4y=-6\left(-10\right)$$

تبسيط.

$$-36x+30y=6,-36x-24y=60$$

اطرح -36x-24y=60 من -36x+30y=6 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-36x+36x+30y+24y=6-60$$

اجمع -36x مع 36x. حذف الحدين -36x و36x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$30y+24y=6-60$$

اجمع 30y مع 24y.

$$54y=6-60$$

اجمع 6 مع -60.

$$54y=-54$$

قسمة طرفي المعادلة على 54.

$$y=-1$$

عوّض عن y بالقيمة -1 في 6x+4y=-10. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$6x+4\left(-1\right)=-10$$

اضرب 4 في -1.

$$6x-4=-10$$

أضف 4 إلى طرفي المعادلة.

$$6x=-6$$

قسمة طرفي المعادلة على 6.

$$x=-1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-1,y=-1$$