حل {l}{-6x+10y=28}{7x-10y=-21}

$$\left. \begin{array} { l } { - 6 x + 10 y = 28 } \\ { 7 x - 10 y = - 21 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=7$$

$$y=7$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$-6x+10y=28,7x-10y=-21$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$-6x+10y=28$$

اطرح 10y من طرفي المعادلة.

$$-6x=-10y+28$$

قسمة طرفي المعادلة على -6.

$$x=-\frac{1}{6}\left(-10y+28\right)$$

اضرب -\frac{1}{6} في -10y+28.

$$x=\frac{5}{3}y-\frac{14}{3}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{5y-14}{3} في المعادلة الأخرى، 7x-10y=-21.

$$7\left(\frac{5}{3}y-\frac{14}{3}\right)-10y=-21$$

اضرب 7 في \frac{5y-14}{3}.

$$\frac{35}{3}y-\frac{98}{3}-10y=-21$$

اجمع \frac{35y}{3} مع -10y.

$$\frac{5}{3}y-\frac{98}{3}=-21$$

أضف \frac{98}{3} إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{5}{3}y=\frac{35}{3}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{5}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=7$$

عوّض عن y بالقيمة 7 في x=\frac{5}{3}y-\frac{14}{3}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{5}{3}\times 7-\frac{14}{3}$$

اضرب \frac{5}{3} في 7.

$$x=\frac{35-14}{3}$$

اجمع -\frac{14}{3} مع \frac{35}{3} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=7$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=7,y=7$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$-6x+10y=28,7x-10y=-21$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}-6&10\\7&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\-21\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}-6&10\\7&-10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-6&10\\7&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6&10\\7&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&10\\7&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\-21\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&10\\7&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\-21\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&10\\7&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\-21\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{-6\left(-10\right)-10\times 7}&-\frac{10}{-6\left(-10\right)-10\times 7}\\-\frac{7}{-6\left(-10\right)-10\times 7}&-\frac{6}{-6\left(-10\right)-10\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\-21\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{7}{10}&\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\-21\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28-21\\\frac{7}{10}\times 28+\frac{3}{5}\left(-21\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\7\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=7,y=7$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$-6x+10y=28,7x-10y=-21$$

لجعل -6x و7x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 7 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في -6.

$$7\left(-6\right)x+7\times 10y=7\times 28,-6\times 7x-6\left(-10\right)y=-6\left(-21\right)$$

تبسيط.

$$-42x+70y=196,-42x+60y=126$$

اطرح -42x+60y=126 من -42x+70y=196 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-42x+42x+70y-60y=196-126$$

اجمع -42x مع 42x. حذف الحدين -42x و42x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$70y-60y=196-126$$

اجمع 70y مع -60y.

$$10y=196-126$$

اجمع 196 مع -126.

$$10y=70$$

قسمة طرفي المعادلة على 10.

$$y=7$$

عوّض عن y بالقيمة 7 في 7x-10y=-21. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$7x-10\times 7=-21$$

اضرب -10 في 7.

$$7x-70=-21$$

أضف 70 إلى طرفي المعادلة.

$$7x=49$$

قسمة طرفي المعادلة على 7.

$$x=7$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=7,y=7$$