حل {l}{-5y+8x=-18}{5y+2x=58}

$$\left. \begin{array} { l } { - 5 y + 8 x = - 18 } \\ { 5 y + 2 x = 58 } \end{array} \right.$$

حل مسائل y، x

$$x=4$$

$$y=10$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$-5y+8x=-18,5y+2x=58$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة y بعزل y على يسار علامة التساوي.

$$-5y+8x=-18$$

اطرح 8x من طرفي المعادلة.

$$-5y=-8x-18$$

قسمة طرفي المعادلة على -5.

$$y=-\frac{1}{5}\left(-8x-18\right)$$

اضرب -\frac{1}{5} في -8x-18.

$$y=\frac{8}{5}x+\frac{18}{5}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{8x+18}{5} في المعادلة الأخرى، 5y+2x=58.

$$5\left(\frac{8}{5}x+\frac{18}{5}\right)+2x=58$$

اضرب 5 في \frac{8x+18}{5}.

$$8x+18+2x=58$$

اجمع 8x مع 2x.

$$10x+18=58$$

اطرح 18 من طرفي المعادلة.

$$10x=40$$

قسمة طرفي المعادلة على 10.

$$x=4$$

عوّض عن x بالقيمة 4 في y=\frac{8}{5}x+\frac{18}{5}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y=\frac{8}{5}\times 4+\frac{18}{5}$$

اضرب \frac{8}{5} في 4.

$$y=\frac{32+18}{5}$$

اجمع \frac{18}{5} مع \frac{32}{5} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$y=10$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=10,x=4$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$-5y+8x=-18,5y+2x=58$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-5\times 2-8\times 5}&-\frac{8}{-5\times 2-8\times 5}\\-\frac{5}{-5\times 2-8\times 5}&-\frac{5}{-5\times 2-8\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{25}&\frac{4}{25}\\\frac{1}{10}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{25}\left(-18\right)+\frac{4}{25}\times 58\\\frac{1}{10}\left(-18\right)+\frac{1}{10}\times 58\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\4\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة y وx.

$$y=10,x=4$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$-5y+8x=-18,5y+2x=58$$

لجعل -5y و5y متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 5 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في -5.

$$5\left(-5\right)y+5\times 8x=5\left(-18\right),-5\times 5y-5\times 2x=-5\times 58$$

تبسيط.

$$-25y+40x=-90,-25y-10x=-290$$

اطرح -25y-10x=-290 من -25y+40x=-90 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-25y+25y+40x+10x=-90+290$$

اجمع -25y مع 25y. حذف الحدين -25y و25y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$40x+10x=-90+290$$

اجمع 40x مع 10x.

$$50x=-90+290$$

اجمع -90 مع 290.

$$50x=200$$

قسمة طرفي المعادلة على 50.

$$x=4$$

عوّض عن x بالقيمة 4 في 5y+2x=58. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$5y+2\times 4=58$$

اضرب 2 في 4.

$$5y+8=58$$

اطرح 8 من طرفي المعادلة.

$$5y=50$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$y=10$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=10,x=4$$