حل {l}{-5x+5y=-10}{-2x+5y=-16}hline

$$\left. \begin{array} { l } { - 5 x + 5 y = - 10 } \\ { - 2 x + 5 y = - 16 } \\ \hline \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-2$$

$$y=-4$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$-5x+5y=-10,-2x+5y=-16$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$-5x+5y=-10$$

اطرح 5y من طرفي المعادلة.

$$-5x=-5y-10$$

قسمة طرفي المعادلة على -5.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-5y-10\right)$$

اضرب -\frac{1}{5} في -5y-10.

$$x=y+2$$

عوّض عن x بالقيمة y+2 في المعادلة الأخرى، -2x+5y=-16.

$$-2\left(y+2\right)+5y=-16$$

اضرب -2 في y+2.

$$-2y-4+5y=-16$$

اجمع -2y مع 5y.

$$3y-4=-16$$

أضف 4 إلى طرفي المعادلة.

$$3y=-12$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$y=-4$$

عوّض عن y بالقيمة -4 في x=y+2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-4+2$$

اجمع 2 مع -4.

$$x=-2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-2,y=-4$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$-5x+5y=-10,-2x+5y=-16$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}-5&5\\-2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\-16\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}-5&5\\-2&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&5\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&5\\-2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&5\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-16\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&5\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-16\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&5\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-16\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{-5\times 5-5\left(-2\right)}&-\frac{5}{-5\times 5-5\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{-5\times 5-5\left(-2\right)}&-\frac{5}{-5\times 5-5\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-16\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\-\frac{2}{15}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-16\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-10\right)+\frac{1}{3}\left(-16\right)\\-\frac{2}{15}\left(-10\right)+\frac{1}{3}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-2,y=-4$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$-5x+5y=-10,-2x+5y=-16$$

اطرح -2x+5y=-16 من -5x+5y=-10 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-5x+2x+5y-5y=-10+16$$

اجمع 5y مع -5y. حذف الحدين 5y و-5y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-5x+2x=-10+16$$

اجمع -5x مع 2x.

$$-3x=-10+16$$

اجمع -10 مع 16.

$$-3x=6$$

قسمة طرفي المعادلة على -3.

$$x=-2$$

عوّض عن x بالقيمة -2 في -2x+5y=-16. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$-2\left(-2\right)+5y=-16$$

اضرب -2 في -2.

$$4+5y=-16$$

اطرح 4 من طرفي المعادلة.

$$5y=-20$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$y=-4$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-2,y=-4$$