حل {l}{-5x+13y=-7}{5x+4y=24}

$$\left. \begin{array} { l } { - 5 x + 13 y = - 7 } \\ { 5 x + 4 y = 24 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=4$$

$$y=1$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$-5x+13y=-7,5x+4y=24$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$-5x+13y=-7$$

اطرح 13y من طرفي المعادلة.

$$-5x=-13y-7$$

قسمة طرفي المعادلة على -5.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-13y-7\right)$$

اضرب -\frac{1}{5} في -13y-7.

$$x=\frac{13}{5}y+\frac{7}{5}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{13y+7}{5} في المعادلة الأخرى، 5x+4y=24.

$$5\left(\frac{13}{5}y+\frac{7}{5}\right)+4y=24$$

اضرب 5 في \frac{13y+7}{5}.

$$13y+7+4y=24$$

اجمع 13y مع 4y.

$$17y+7=24$$

اطرح 7 من طرفي المعادلة.

$$17y=17$$

قسمة طرفي المعادلة على 17.

$$y=1$$

عوّض عن y بالقيمة 1 في x=\frac{13}{5}y+\frac{7}{5}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{13+7}{5}$$

اجمع \frac{7}{5} مع \frac{13}{5} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=4$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=4,y=1$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$-5x+13y=-7,5x+4y=24$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}-5&13\\5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\24\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}-5&13\\5&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&13\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&13\\5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&13\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\24\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&13\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\24\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&13\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\24\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{-5\times 4-13\times 5}&-\frac{13}{-5\times 4-13\times 5}\\-\frac{5}{-5\times 4-13\times 5}&-\frac{5}{-5\times 4-13\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\24\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{85}&\frac{13}{85}\\\frac{1}{17}&\frac{1}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\24\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{85}\left(-7\right)+\frac{13}{85}\times 24\\\frac{1}{17}\left(-7\right)+\frac{1}{17}\times 24\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=4,y=1$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$-5x+13y=-7,5x+4y=24$$

لجعل -5x و5x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 5 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في -5.

$$5\left(-5\right)x+5\times 13y=5\left(-7\right),-5\times 5x-5\times 4y=-5\times 24$$

تبسيط.

$$-25x+65y=-35,-25x-20y=-120$$

اطرح -25x-20y=-120 من -25x+65y=-35 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-25x+25x+65y+20y=-35+120$$

اجمع -25x مع 25x. حذف الحدين -25x و25x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$65y+20y=-35+120$$

اجمع 65y مع 20y.

$$85y=-35+120$$

اجمع -35 مع 120.

$$85y=85$$

قسمة طرفي المعادلة على 85.

$$y=1$$

عوّض عن y بالقيمة 1 في 5x+4y=24. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$5x+4=24$$

اطرح 4 من طرفي المعادلة.

$$5x=20$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=4$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=4,y=1$$