حل {l}{-4x-10y=20}{8x+10y=20}

$$\left. \begin{array} { l } { - 4 x - 10 y = 20 } \\ { 8 x + 10 y = 20 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=10$$

$$y=-6$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$-4x-10y=20,8x+10y=20$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$-4x-10y=20$$

أضف 10y إلى طرفي المعادلة.

$$-4x=10y+20$$

قسمة طرفي المعادلة على -4.

$$x=-\frac{1}{4}\left(10y+20\right)$$

اضرب -\frac{1}{4} في 20+10y.

$$x=-\frac{5}{2}y-5$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{5y}{2}-5 في المعادلة الأخرى، 8x+10y=20.

$$8\left(-\frac{5}{2}y-5\right)+10y=20$$

اضرب 8 في -\frac{5y}{2}-5.

$$-20y-40+10y=20$$

اجمع -20y مع 10y.

$$-10y-40=20$$

أضف 40 إلى طرفي المعادلة.

$$-10y=60$$

قسمة طرفي المعادلة على -10.

$$y=-6$$

عوّض عن y بالقيمة -6 في x=-\frac{5}{2}y-5. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{5}{2}\left(-6\right)-5$$

اضرب -\frac{5}{2} في -6.

$$x=15-5$$

اجمع -5 مع 15.

$$x=10$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=10,y=-6$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$-4x-10y=20,8x+10y=20$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{-4\times 10-\left(-10\times 8\right)}&-\frac{-10}{-4\times 10-\left(-10\times 8\right)}\\-\frac{8}{-4\times 10-\left(-10\times 8\right)}&-\frac{4}{-4\times 10-\left(-10\times 8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{5}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 20+\frac{1}{4}\times 20\\-\frac{1}{5}\times 20-\frac{1}{10}\times 20\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-6\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=10,y=-6$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$-4x-10y=20,8x+10y=20$$

لجعل -4x و8x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 8 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في -4.

$$8\left(-4\right)x+8\left(-10\right)y=8\times 20,-4\times 8x-4\times 10y=-4\times 20$$

تبسيط.

$$-32x-80y=160,-32x-40y=-80$$

اطرح -32x-40y=-80 من -32x-80y=160 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-32x+32x-80y+40y=160+80$$

اجمع -32x مع 32x. حذف الحدين -32x و32x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-80y+40y=160+80$$

اجمع -80y مع 40y.

$$-40y=160+80$$

اجمع 160 مع 80.

$$-40y=240$$

قسمة طرفي المعادلة على -40.

$$y=-6$$

عوّض عن y بالقيمة -6 في 8x+10y=20. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$8x+10\left(-6\right)=20$$

اضرب 10 في -6.

$$8x-60=20$$

أضف 60 إلى طرفي المعادلة.

$$8x=80$$

قسمة طرفي المعادلة على 8.

$$x=10$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=10,y=-6$$