حل {l}{-4x+9y=9}{x-3y=-6}

$$\left. \begin{array} { l } { - 4 x + 9 y = 9 } \\ { x - 3 y = - 6 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=9$$

$$y=5$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$-4x+9y=9,x-3y=-6$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$-4x+9y=9$$

اطرح 9y من طرفي المعادلة.

$$-4x=-9y+9$$

قسمة طرفي المعادلة على -4.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-9y+9\right)$$

اضرب -\frac{1}{4} في -9y+9.

$$x=\frac{9}{4}y-\frac{9}{4}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-9+9y}{4} في المعادلة الأخرى، x-3y=-6.

$$\frac{9}{4}y-\frac{9}{4}-3y=-6$$

اجمع \frac{9y}{4} مع -3y.

$$-\frac{3}{4}y-\frac{9}{4}=-6$$

أضف \frac{9}{4} إلى طرفي المعادلة.

$$-\frac{3}{4}y=-\frac{15}{4}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{3}{4}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=5$$

عوّض عن y بالقيمة 5 في x=\frac{9}{4}y-\frac{9}{4}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{9}{4}\times 5-\frac{9}{4}$$

اضرب \frac{9}{4} في 5.

$$x=\frac{45-9}{4}$$

اجمع -\frac{9}{4} مع \frac{45}{4} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=9$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=9,y=5$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$-4x+9y=9,x-3y=-6$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}-4&9\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-6\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}-4&9\\1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&9\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&9\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&9\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-6\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&9\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-6\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&9\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-6\end{matrix}\right)$$

في المصفوفة 2\times 2 في هذا المثال \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة هي \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمسألة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-4\left(-3\right)-9}&-\frac{9}{-4\left(-3\right)-9}\\-\frac{1}{-4\left(-3\right)-9}&-\frac{4}{-4\left(-3\right)-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-6\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-3\\-\frac{1}{3}&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-6\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9-3\left(-6\right)\\-\frac{1}{3}\times 9-\frac{4}{3}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\5\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=9,y=5$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$-4x+9y=9,x-3y=-6$$

لجعل -4x وx متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في -4.

$$-4x+9y=9,-4x-4\left(-3\right)y=-4\left(-6\right)$$

تبسيط.

$$-4x+9y=9,-4x+12y=24$$

اطرح -4x+12y=24 من -4x+9y=9 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-4x+4x+9y-12y=9-24$$

اجمع -4x مع 4x. حذف الحدين -4x و4x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$9y-12y=9-24$$

اجمع 9y مع -12y.

$$-3y=9-24$$

اجمع 9 مع -24.

$$-3y=-15$$

قسمة طرفي المعادلة على -3.

$$y=5$$

عوّض عن y بالقيمة 5 في x-3y=-6. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x-3\times 5=-6$$

اضرب -3 في 5.

$$x-15=-6$$

أضف 15 إلى طرفي المعادلة.

$$x=9$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=9,y=5$$