حل {l}{-4x+7y+5=0}{x-3y=-5}

$$\left. \begin{array} { l } { - 4 x + 7 y + 5 = 0 } \\ { x - 3 y = - 5 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=10$$

$$y=5$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$-4x+7y+5=0,x-3y=-5$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$-4x+7y+5=0$$

اطرح 5 من طرفي المعادلة.

$$-4x+7y=-5$$

اطرح 7y من طرفي المعادلة.

$$-4x=-7y-5$$

قسمة طرفي المعادلة على -4.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-7y-5\right)$$

اضرب -\frac{1}{4} في -7y-5.

$$x=\frac{7}{4}y+\frac{5}{4}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{7y+5}{4} في المعادلة الأخرى، x-3y=-5.

$$\frac{7}{4}y+\frac{5}{4}-3y=-5$$

اجمع \frac{7y}{4} مع -3y.

$$-\frac{5}{4}y+\frac{5}{4}=-5$$

اطرح \frac{5}{4} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{5}{4}y=-\frac{25}{4}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{5}{4}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=5$$

عوّض عن y بالقيمة 5 في x=\frac{7}{4}y+\frac{5}{4}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{7}{4}\times 5+\frac{5}{4}$$

اضرب \frac{7}{4} في 5.

$$x=\frac{35+5}{4}$$

اجمع \frac{5}{4} مع \frac{35}{4} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=10$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=10,y=5$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$-4x+7y+5=0,x-3y=-5$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}-4&7\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-5\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}-4&7\\1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&7\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&7\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&7\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-5\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&7\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-5\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&7\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-5\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-4\left(-3\right)-7}&-\frac{7}{-4\left(-3\right)-7}\\-\frac{1}{-4\left(-3\right)-7}&-\frac{4}{-4\left(-3\right)-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-5\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5}&-\frac{7}{5}\\-\frac{1}{5}&-\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-5\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5}\left(-5\right)-\frac{7}{5}\left(-5\right)\\-\frac{1}{5}\left(-5\right)-\frac{4}{5}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=10,y=5$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$-4x+7y+5=0,x-3y=-5$$

لجعل -4x وx متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في -4.

$$-4x+7y+5=0,-4x-4\left(-3\right)y=-4\left(-5\right)$$

تبسيط.

$$-4x+7y+5=0,-4x+12y=20$$

اطرح -4x+12y=20 من -4x+7y+5=0 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-4x+4x+7y-12y+5=-20$$

اجمع -4x مع 4x. حذف الحدين -4x و4x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$7y-12y+5=-20$$

اجمع 7y مع -12y.

$$-5y+5=-20$$

اطرح 5 من طرفي المعادلة.

$$-5y=-25$$

قسمة طرفي المعادلة على -5.

$$y=5$$

عوّض عن y بالقيمة 5 في x-3y=-5. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x-3\times 5=-5$$

اضرب -3 في 5.

$$x-15=-5$$

أضف 15 إلى طرفي المعادلة.

$$x=10$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=10,y=5$$