حل {l}{-4x+3y=-5}{-7x+3y=-20}

$$\left. \begin{array} { l } { - 4 x + 3 y = - 5 } \\ { - 7 x + 3 y = - 20 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=5$$

$$y=5$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$-4x+3y=-5,-7x+3y=-20$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$-4x+3y=-5$$

اطرح 3y من طرفي المعادلة.

$$-4x=-3y-5$$

قسمة طرفي المعادلة على -4.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-3y-5\right)$$

اضرب -\frac{1}{4} في -3y-5.

$$x=\frac{3}{4}y+\frac{5}{4}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{3y+5}{4} في المعادلة الأخرى، -7x+3y=-20.

$$-7\left(\frac{3}{4}y+\frac{5}{4}\right)+3y=-20$$

اضرب -7 في \frac{3y+5}{4}.

$$-\frac{21}{4}y-\frac{35}{4}+3y=-20$$

اجمع -\frac{21y}{4} مع 3y.

$$-\frac{9}{4}y-\frac{35}{4}=-20$$

أضف \frac{35}{4} إلى طرفي المعادلة.

$$-\frac{9}{4}y=-\frac{45}{4}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{9}{4}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=5$$

عوّض عن y بالقيمة 5 في x=\frac{3}{4}y+\frac{5}{4}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{3}{4}\times 5+\frac{5}{4}$$

اضرب \frac{3}{4} في 5.

$$x=\frac{15+5}{4}$$

اجمع \frac{5}{4} مع \frac{15}{4} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=5$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=5,y=5$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$-4x+3y=-5,-7x+3y=-20$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}-4&3\\-7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}-4&3\\-7&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&3\\-7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&3\\-7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&3\\-7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&3\\-7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&3\\-7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-4\times 3-3\left(-7\right)}&-\frac{3}{-4\times 3-3\left(-7\right)}\\-\frac{-7}{-4\times 3-3\left(-7\right)}&-\frac{4}{-4\times 3-3\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{7}{9}&-\frac{4}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\left(-5\right)-\frac{1}{3}\left(-20\right)\\\frac{7}{9}\left(-5\right)-\frac{4}{9}\left(-20\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=5,y=5$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$-4x+3y=-5,-7x+3y=-20$$

اطرح -7x+3y=-20 من -4x+3y=-5 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-4x+7x+3y-3y=-5+20$$

اجمع 3y مع -3y. حذف الحدين 3y و-3y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-4x+7x=-5+20$$

اجمع -4x مع 7x.

$$3x=-5+20$$

اجمع -5 مع 20.

$$3x=15$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=5$$

عوّض عن x بالقيمة 5 في -7x+3y=-20. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$-7\times 5+3y=-20$$

اضرب -7 في 5.

$$-35+3y=-20$$

أضف 35 إلى طرفي المعادلة.

$$3y=15$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$y=5$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=5,y=5$$