حل {l}{-3x-2y=6}{3x+3y=-9}

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 x - 2 y = 6 } \\ { 3 x + 3 y = - 9 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=0$$

$$y=-3$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$-3x-2y=6,3x+3y=-9$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$-3x-2y=6$$

أضف 2y إلى طرفي المعادلة.

$$-3x=2y+6$$

قسمة طرفي المعادلة على -3.

$$x=-\frac{1}{3}\left(2y+6\right)$$

اضرب -\frac{1}{3} في 6+2y.

$$x=-\frac{2}{3}y-2$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{2y}{3}-2 في المعادلة الأخرى، 3x+3y=-9.

$$3\left(-\frac{2}{3}y-2\right)+3y=-9$$

اضرب 3 في -\frac{2y}{3}-2.

$$-2y-6+3y=-9$$

اجمع -2y مع 3y.

$$y-6=-9$$

أضف 6 إلى طرفي المعادلة.

$$y=-3$$

عوّض عن y بالقيمة -3 في x=-\frac{2}{3}y-2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{2}{3}\left(-3\right)-2$$

اضرب -\frac{2}{3} في -3.

$$x=2-2$$

اجمع -2 مع 2.

$$x=0$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=0,y=-3$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$-3x-2y=6,3x+3y=-9$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}-3&-2\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-9\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}-3&-2\\3&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&-2\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&-2\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&-2\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-9\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&-2\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-9\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&-2\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-9\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-3\times 3-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{-3\times 3-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{-3\times 3-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{3}{-3\times 3-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-9\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-\frac{2}{3}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-9\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6-\frac{2}{3}\left(-9\right)\\6-9\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=0,y=-3$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$-3x-2y=6,3x+3y=-9$$

لجعل -3x و3x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في -3.

$$3\left(-3\right)x+3\left(-2\right)y=3\times 6,-3\times 3x-3\times 3y=-3\left(-9\right)$$

تبسيط.

$$-9x-6y=18,-9x-9y=27$$

اطرح -9x-9y=27 من -9x-6y=18 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-9x+9x-6y+9y=18-27$$

اجمع -9x مع 9x. حذف الحدين -9x و9x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-6y+9y=18-27$$

اجمع -6y مع 9y.

$$3y=18-27$$

اجمع 18 مع -27.

$$3y=-9$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$y=-3$$

عوّض عن y بالقيمة -3 في 3x+3y=-9. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$3x+3\left(-3\right)=-9$$

اضرب 3 في -3.

$$3x-9=-9$$

أضف 9 إلى طرفي المعادلة.

$$3x=0$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=0$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=0,y=-3$$