حل {l}{-3x+y=1}{-3x+2y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 x + y = 1 } \\ { - 3 x + 2 y = 5 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=1$$

$$y=4$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$-3x+y=1,-3x+2y=5$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$-3x+y=1$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$-3x=-y+1$$

قسمة طرفي المعادلة على -3.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-y+1\right)$$

اضرب -\frac{1}{3} في -y+1.

$$x=\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-1+y}{3} في المعادلة الأخرى، -3x+2y=5.

$$-3\left(\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}\right)+2y=5$$

اضرب -3 في \frac{-1+y}{3}.

$$-y+1+2y=5$$

اجمع -y مع 2y.

$$y+1=5$$

اطرح 1 من طرفي المعادلة.

$$y=4$$

عوّض عن y بالقيمة 4 في x=\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{1}{3}\times 4-\frac{1}{3}$$

اضرب \frac{1}{3} في 4.

$$x=\frac{4-1}{3}$$

اجمع -\frac{1}{3} مع \frac{4}{3} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=1,y=4$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$-3x+y=1,-3x+2y=5$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}-3&1\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}-3&1\\-3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&1\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-3\times 2-\left(-3\right)}&-\frac{1}{-3\times 2-\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{-3\times 2-\left(-3\right)}&-\frac{3}{-3\times 2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\times 5\\-1+5\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=1,y=4$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$-3x+y=1,-3x+2y=5$$

اطرح -3x+2y=5 من -3x+y=1 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-3x+3x+y-2y=1-5$$

اجمع -3x مع 3x. حذف الحدين -3x و3x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$y-2y=1-5$$

اجمع y مع -2y.

$$-y=1-5$$

اجمع 1 مع -5.

$$-y=-4$$

قسمة طرفي المعادلة على -1.

$$y=4$$

عوّض عن y بالقيمة 4 في -3x+2y=5. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-3x+2\times 4=5$$

اضرب 2 في 4.

$$-3x+8=5$$

اطرح 8 من طرفي المعادلة.

$$-3x=-3$$

قسمة طرفي المعادلة على -3.

$$x=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=1,y=4$$