حل {l}{-3x+4y=-6}{5x-y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 x + 4 y = - 6 } \\ { 5 x - y = 10 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=2$$

$$y=0$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$-3x+4y=-6,5x-y=10$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$-3x+4y=-6$$

اطرح 4y من طرفي المعادلة.

$$-3x=-4y-6$$

قسمة طرفي المعادلة على -3.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-4y-6\right)$$

اضرب -\frac{1}{3} في -4y-6.

$$x=\frac{4}{3}y+2$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{4y}{3}+2 في المعادلة الأخرى، 5x-y=10.

$$5\left(\frac{4}{3}y+2\right)-y=10$$

اضرب 5 في \frac{4y}{3}+2.

$$\frac{20}{3}y+10-y=10$$

اجمع \frac{20y}{3} مع -y.

$$\frac{17}{3}y+10=10$$

اطرح 10 من طرفي المعادلة.

$$\frac{17}{3}y=0$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{17}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=0$$

عوّض عن y بالقيمة 0 في x=\frac{4}{3}y+2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=2,y=0$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$-3x+4y=-6,5x-y=10$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}-3&4\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\10\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}-3&4\\5&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&4\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&4\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&4\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\10\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&4\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\10\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&4\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\10\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-3\left(-1\right)-4\times 5}&-\frac{4}{-3\left(-1\right)-4\times 5}\\-\frac{5}{-3\left(-1\right)-4\times 5}&-\frac{3}{-3\left(-1\right)-4\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\10\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}&\frac{4}{17}\\\frac{5}{17}&\frac{3}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\10\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}\left(-6\right)+\frac{4}{17}\times 10\\\frac{5}{17}\left(-6\right)+\frac{3}{17}\times 10\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=2,y=0$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$-3x+4y=-6,5x-y=10$$

لجعل -3x و5x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 5 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في -3.

$$5\left(-3\right)x+5\times 4y=5\left(-6\right),-3\times 5x-3\left(-1\right)y=-3\times 10$$

تبسيط.

$$-15x+20y=-30,-15x+3y=-30$$

اطرح -15x+3y=-30 من -15x+20y=-30 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-15x+15x+20y-3y=-30+30$$

اجمع -15x مع 15x. حذف الحدين -15x و15x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$20y-3y=-30+30$$

اجمع 20y مع -3y.

$$17y=-30+30$$

اجمع -30 مع 30.

$$17y=0$$

قسمة طرفي المعادلة على 17.

$$y=0$$

عوّض عن y بالقيمة 0 في 5x-y=10. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$5x=10$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=2,y=0$$