حل {l}{-3x+15y=59}{3x+4y=17}

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 x + 15 y = 59 } \\ { 3 x + 4 y = 17 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$y=4$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$-3x+15y=59,3x+4y=17$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$-3x+15y=59$$

اطرح 15y من طرفي المعادلة.

$$-3x=-15y+59$$

قسمة طرفي المعادلة على -3.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-15y+59\right)$$

اضرب -\frac{1}{3} في -15y+59.

$$x=5y-\frac{59}{3}$$

عوّض عن x بالقيمة 5y-\frac{59}{3} في المعادلة الأخرى، 3x+4y=17.

$$3\left(5y-\frac{59}{3}\right)+4y=17$$

اضرب 3 في 5y-\frac{59}{3}.

$$15y-59+4y=17$$

اجمع 15y مع 4y.

$$19y-59=17$$

أضف 59 إلى طرفي المعادلة.

$$19y=76$$

قسمة طرفي المعادلة على 19.

$$y=4$$

عوّض عن y بالقيمة 4 في x=5y-\frac{59}{3}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=5\times 4-\frac{59}{3}$$

اضرب 5 في 4.

$$x=20-\frac{59}{3}$$

اجمع -\frac{59}{3} مع 20.

$$x=\frac{1}{3}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{1}{3},y=4$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$-3x+15y=59,3x+4y=17$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}-3&15\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}59\\17\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}-3&15\\3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&15\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&15\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&15\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\17\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&15\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\17\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&15\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\17\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{-3\times 4-15\times 3}&-\frac{15}{-3\times 4-15\times 3}\\-\frac{3}{-3\times 4-15\times 3}&-\frac{3}{-3\times 4-15\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}59\\17\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{57}&\frac{5}{19}\\\frac{1}{19}&\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}59\\17\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{57}\times 59+\frac{5}{19}\times 17\\\frac{1}{19}\times 59+\frac{1}{19}\times 17\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\\4\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{1}{3},y=4$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$-3x+15y=59,3x+4y=17$$

لجعل -3x و3x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في -3.

$$3\left(-3\right)x+3\times 15y=3\times 59,-3\times 3x-3\times 4y=-3\times 17$$

تبسيط.

$$-9x+45y=177,-9x-12y=-51$$

اطرح -9x-12y=-51 من -9x+45y=177 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-9x+9x+45y+12y=177+51$$

اجمع -9x مع 9x. حذف الحدين -9x و9x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$45y+12y=177+51$$

اجمع 45y مع 12y.

$$57y=177+51$$

اجمع 177 مع 51.

$$57y=228$$

قسمة طرفي المعادلة على 57.

$$y=4$$

عوّض عن y بالقيمة 4 في 3x+4y=17. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$3x+4\times 4=17$$

اضرب 4 في 4.

$$3x+16=17$$

اطرح 16 من طرفي المعادلة.

$$3x=1$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{1}{3}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{1}{3},y=4$$