حل {l}{-2x+7y=4}{-4x+3y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { - 2 x + 7 y = 4 } \\ { - 4 x + 3 y = 2 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-\frac{1}{11}\approx -0.090909091$$

$$y=\frac{6}{11}\approx 0.545454545$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$-2x+7y=4,-4x+3y=2$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$-2x+7y=4$$

اطرح 7y من طرفي المعادلة.

$$-2x=-7y+4$$

قسمة طرفي المعادلة على -2.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-7y+4\right)$$

اضرب -\frac{1}{2} في -7y+4.

$$x=\frac{7}{2}y-2$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{7y}{2}-2 في المعادلة الأخرى، -4x+3y=2.

$$-4\left(\frac{7}{2}y-2\right)+3y=2$$

اضرب -4 في \frac{7y}{2}-2.

$$-14y+8+3y=2$$

اجمع -14y مع 3y.

$$-11y+8=2$$

اطرح 8 من طرفي المعادلة.

$$-11y=-6$$

قسمة طرفي المعادلة على -11.

$$y=\frac{6}{11}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{6}{11} في x=\frac{7}{2}y-2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{7}{2}\times \frac{6}{11}-2$$

اضرب \frac{7}{2} في \frac{6}{11} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{21}{11}-2$$

اجمع -2 مع \frac{21}{11}.

$$x=-\frac{1}{11}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{1}{11},y=\frac{6}{11}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$-2x+7y=4,-4x+3y=2$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

في المصفوفة 2\times 2 في هذا المثال \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة هي \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمسألة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-2\times 3-7\left(-4\right)}&-\frac{7}{-2\times 3-7\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{-2\times 3-7\left(-4\right)}&-\frac{2}{-2\times 3-7\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}&-\frac{7}{22}\\\frac{2}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}\times 4-\frac{7}{22}\times 2\\\frac{2}{11}\times 4-\frac{1}{11}\times 2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{11}\\\frac{6}{11}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-\frac{1}{11},y=\frac{6}{11}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$-2x+7y=4,-4x+3y=2$$

لجعل -2x و-4x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -4 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في -2.

$$-4\left(-2\right)x-4\times 7y=-4\times 4,-2\left(-4\right)x-2\times 3y=-2\times 2$$

تبسيط.

$$8x-28y=-16,8x-6y=-4$$

اطرح 8x-6y=-4 من 8x-28y=-16 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$8x-8x-28y+6y=-16+4$$

اجمع 8x مع -8x. حذف الحدين 8x و-8x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-28y+6y=-16+4$$

اجمع -28y مع 6y.

$$-22y=-16+4$$

اجمع -16 مع 4.

$$-22y=-12$$

قسمة طرفي المعادلة على -22.

$$y=\frac{6}{11}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{6}{11} في -4x+3y=2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-4x+3\times \frac{6}{11}=2$$

اضرب 3 في \frac{6}{11}.

$$-4x+\frac{18}{11}=2$$

اطرح \frac{18}{11} من طرفي المعادلة.

$$-4x=\frac{4}{11}$$

قسمة طرفي المعادلة على -4.

$$x=-\frac{1}{11}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{1}{11},y=\frac{6}{11}$$