حل {l}{-2x+4y=14}{x-4y=-7}

$$\left. \begin{array} { l } { - 2 x + 4 y = 14 } \\ { x - 4 y = - 7 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-7$$

$$y=0$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$-2x+4y=14,x-4y=-7$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$-2x+4y=14$$

اطرح 4y من طرفي المعادلة.

$$-2x=-4y+14$$

قسمة طرفي المعادلة على -2.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-4y+14\right)$$

اضرب -\frac{1}{2} في -4y+14.

$$x=2y-7$$

عوّض عن x بالقيمة 2y-7 في المعادلة الأخرى، x-4y=-7.

$$2y-7-4y=-7$$

اجمع 2y مع -4y.

$$-2y-7=-7$$

أضف 7 إلى طرفي المعادلة.

$$-2y=0$$

قسمة طرفي المعادلة على -2.

$$y=0$$

عوّض عن y بالقيمة 0 في x=2y-7. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-7$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-7,y=0$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$-2x+4y=14,x-4y=-7$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}-2&4\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\-7\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}-2&4\\1&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&4\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&4\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&4\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-7\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&4\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-7\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&4\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-7\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-2\left(-4\right)-4}&-\frac{4}{-2\left(-4\right)-4}\\-\frac{1}{-2\left(-4\right)-4}&-\frac{2}{-2\left(-4\right)-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-7\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-1\\-\frac{1}{4}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-7\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14-\left(-7\right)\\-\frac{1}{4}\times 14-\frac{1}{2}\left(-7\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\0\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-7,y=0$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$-2x+4y=14,x-4y=-7$$

لجعل -2x وx متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في -2.

$$-2x+4y=14,-2x-2\left(-4\right)y=-2\left(-7\right)$$

تبسيط.

$$-2x+4y=14,-2x+8y=14$$

اطرح -2x+8y=14 من -2x+4y=14 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-2x+2x+4y-8y=14-14$$

اجمع -2x مع 2x. حذف الحدين -2x و2x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$4y-8y=14-14$$

اجمع 4y مع -8y.

$$-4y=14-14$$

اجمع 14 مع -14.

$$-4y=0$$

قسمة طرفي المعادلة على -4.

$$y=0$$

عوّض عن y بالقيمة 0 في x-4y=-7. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-7$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-7,y=0$$