حل {l}{-2x+4y=-4}{x-3y=6}

$$\left. \begin{array} { l } { - 2 x + 4 y = - 4 } \\ { x - 3 y = 6 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-6$$

$$y=-4$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$-2x+4y=-4,x-3y=6$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$-2x+4y=-4$$

اطرح 4y من طرفي المعادلة.

$$-2x=-4y-4$$

قسمة طرفي المعادلة على -2.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-4y-4\right)$$

اضرب -\frac{1}{2} في -4y-4.

$$x=2y+2$$

عوّض عن x بالقيمة 2+2y في المعادلة الأخرى، x-3y=6.

$$2y+2-3y=6$$

اجمع 2y مع -3y.

$$-y+2=6$$

اطرح 2 من طرفي المعادلة.

$$-y=4$$

قسمة طرفي المعادلة على -1.

$$y=-4$$

عوّض عن y بالقيمة -4 في x=2y+2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=2\left(-4\right)+2$$

اضرب 2 في -4.

$$x=-8+2$$

اجمع 2 مع -8.

$$x=-6$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-6,y=-4$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$-2x+4y=-4,x-3y=6$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}-2&4\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}-2&4\\1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&4\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&4\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&4\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&4\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&4\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-2\left(-3\right)-4}&-\frac{4}{-2\left(-3\right)-4}\\-\frac{1}{-2\left(-3\right)-4}&-\frac{2}{-2\left(-3\right)-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2}&-2\\-\frac{1}{2}&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2}\left(-4\right)-2\times 6\\-\frac{1}{2}\left(-4\right)-6\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-4\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-6,y=-4$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$-2x+4y=-4,x-3y=6$$

لجعل -2x وx متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في -2.

$$-2x+4y=-4,-2x-2\left(-3\right)y=-2\times 6$$

تبسيط.

$$-2x+4y=-4,-2x+6y=-12$$

اطرح -2x+6y=-12 من -2x+4y=-4 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-2x+2x+4y-6y=-4+12$$

اجمع -2x مع 2x. حذف الحدين -2x و2x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$4y-6y=-4+12$$

اجمع 4y مع -6y.

$$-2y=-4+12$$

اجمع -4 مع 12.

$$-2y=8$$

قسمة طرفي المعادلة على -2.

$$y=-4$$

عوّض عن y بالقيمة -4 في x-3y=6. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x-3\left(-4\right)=6$$

اضرب -3 في -4.

$$x+12=6$$

اطرح 12 من طرفي المعادلة.

$$x=-6$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-6,y=-4$$