حل {l}{-15B-3A=-14}{-5A+B=7}

$$\left. \begin{array} { l } { - 15 B - 3 A = - 14 } \\ { - 5 A + B = 7 } \end{array} \right.$$

حل مسائل B، A

$$B = \frac{7}{6} = 1\frac{1}{6} \approx 1.166666667$$

$$A = -\frac{7}{6} = -1\frac{1}{6} \approx -1.166666667$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$-15B-3A=-14,B-5A=7$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة B بعزل B على يسار علامة التساوي.

$$-15B-3A=-14$$

أضف 3A إلى طرفي المعادلة.

$$-15B=3A-14$$

قسمة طرفي المعادلة على -15.

$$B=-\frac{1}{15}\left(3A-14\right)$$

اضرب -\frac{1}{15} في 3A-14.

$$B=-\frac{1}{5}A+\frac{14}{15}$$

عوّض عن B بالقيمة -\frac{A}{5}+\frac{14}{15} في المعادلة الأخرى، B-5A=7.

$$-\frac{1}{5}A+\frac{14}{15}-5A=7$$

اجمع -\frac{A}{5} مع -5A.

$$-\frac{26}{5}A+\frac{14}{15}=7$$

اطرح \frac{14}{15} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{26}{5}A=\frac{91}{15}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{26}{5}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$A=-\frac{7}{6}$$

عوّض عن A بالقيمة -\frac{7}{6} في B=-\frac{1}{5}A+\frac{14}{15}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة B مباشرةً.

$$B=-\frac{1}{5}\left(-\frac{7}{6}\right)+\frac{14}{15}$$

اضرب -\frac{1}{5} في -\frac{7}{6} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$B=\frac{7}{30}+\frac{14}{15}$$

اجمع \frac{14}{15} مع \frac{7}{30} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$B=\frac{7}{6}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$B=\frac{7}{6},A=-\frac{7}{6}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$-15B-3A=-14,B-5A=7$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}-15&-3\\1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}B\\A\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\7\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}-15&-3\\1&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-15&-3\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15&-3\\1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}B\\A\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-15&-3\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\7\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}B\\A\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-15&-3\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\7\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}B\\A\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-15&-3\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\7\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}B\\A\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-15\left(-5\right)-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{-15\left(-5\right)-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{-15\left(-5\right)-\left(-3\right)}&-\frac{15}{-15\left(-5\right)-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\7\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}B\\A\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{78}&\frac{1}{26}\\-\frac{1}{78}&-\frac{5}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\7\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}B\\A\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{78}\left(-14\right)+\frac{1}{26}\times 7\\-\frac{1}{78}\left(-14\right)-\frac{5}{26}\times 7\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}B\\A\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{6}\\-\frac{7}{6}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة B وA.

$$B=\frac{7}{6},A=-\frac{7}{6}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$-15B-3A=-14,B-5A=7$$

لجعل -15B وB متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في -15.

$$-15B-3A=-14,-15B-15\left(-5\right)A=-15\times 7$$

تبسيط.

$$-15B-3A=-14,-15B+75A=-105$$

اطرح -15B+75A=-105 من -15B-3A=-14 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-15B+15B-3A-75A=-14+105$$

اجمع -15B مع 15B. حذف الحدين -15B و15B، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-3A-75A=-14+105$$

اجمع -3A مع -75A.

$$-78A=-14+105$$

اجمع -14 مع 105.

$$-78A=91$$

قسمة طرفي المعادلة على -78.

$$A=-\frac{7}{6}$$

عوّض عن A بالقيمة -\frac{7}{6} في B-5A=7. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة B مباشرةً.

$$B-5\left(-\frac{7}{6}\right)=7$$

اضرب -5 في -\frac{7}{6}.

$$B+\frac{35}{6}=7$$

اطرح \frac{35}{6} من طرفي المعادلة.

$$B=\frac{7}{6}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$B=\frac{7}{6},A=-\frac{7}{6}$$