حل {l}{-15A+3B=21}{-15B-3A=-14}

$$\left. \begin{array} { l } { - 15 A + 3 B = 21 } \\ { - 15 B - 3 A = - 14 } \end{array} \right.$$

حل مسائل A، B

$$A = -\frac{7}{6} = -1\frac{1}{6} \approx -1.166666667$$

$$B = \frac{7}{6} = 1\frac{1}{6} \approx 1.166666667$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$-15A+3B=21,-3A-15B=-14$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة A بعزل A على يسار علامة التساوي.

$$-15A+3B=21$$

اطرح 3B من طرفي المعادلة.

$$-15A=-3B+21$$

قسمة طرفي المعادلة على -15.

$$A=-\frac{1}{15}\left(-3B+21\right)$$

اضرب -\frac{1}{15} في -3B+21.

$$A=\frac{1}{5}B-\frac{7}{5}$$

عوّض عن A بالقيمة \frac{-7+B}{5} في المعادلة الأخرى، -3A-15B=-14.

$$-3\left(\frac{1}{5}B-\frac{7}{5}\right)-15B=-14$$

اضرب -3 في \frac{-7+B}{5}.

$$-\frac{3}{5}B+\frac{21}{5}-15B=-14$$

اجمع -\frac{3B}{5} مع -15B.

$$-\frac{78}{5}B+\frac{21}{5}=-14$$

اطرح \frac{21}{5} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{78}{5}B=-\frac{91}{5}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{78}{5}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$B=\frac{7}{6}$$

عوّض عن B بالقيمة \frac{7}{6} في A=\frac{1}{5}B-\frac{7}{5}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة A مباشرةً.

$$A=\frac{1}{5}\times \frac{7}{6}-\frac{7}{5}$$

اضرب \frac{1}{5} في \frac{7}{6} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$A=\frac{7}{30}-\frac{7}{5}$$

اجمع -\frac{7}{5} مع \frac{7}{30} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$A=-\frac{7}{6}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$A=-\frac{7}{6},B=\frac{7}{6}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$-15A+3B=21,-3A-15B=-14$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\-14\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\-14\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\-14\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\-14\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{-15\left(-15\right)-3\left(-3\right)}&-\frac{3}{-15\left(-15\right)-3\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{-15\left(-15\right)-3\left(-3\right)}&-\frac{15}{-15\left(-15\right)-3\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\-14\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{78}&-\frac{1}{78}\\\frac{1}{78}&-\frac{5}{78}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\-14\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{78}\times 21-\frac{1}{78}\left(-14\right)\\\frac{1}{78}\times 21-\frac{5}{78}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{6}\\\frac{7}{6}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة A وB.

$$A=-\frac{7}{6},B=\frac{7}{6}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$-15A+3B=21,-3A-15B=-14$$

لجعل -15A و-3A متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في -15.

$$-3\left(-15\right)A-3\times 3B=-3\times 21,-15\left(-3\right)A-15\left(-15\right)B=-15\left(-14\right)$$

تبسيط.

$$45A-9B=-63,45A+225B=210$$

اطرح 45A+225B=210 من 45A-9B=-63 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$45A-45A-9B-225B=-63-210$$

اجمع 45A مع -45A. حذف الحدين 45A و-45A، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-9B-225B=-63-210$$

اجمع -9B مع -225B.

$$-234B=-63-210$$

اجمع -63 مع -210.

$$-234B=-273$$

قسمة طرفي المعادلة على -234.

$$B=\frac{7}{6}$$

عوّض عن B بالقيمة \frac{7}{6} في -3A-15B=-14. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة A مباشرةً.

$$-3A-15\times \frac{7}{6}=-14$$

اضرب -15 في \frac{7}{6}.

$$-3A-\frac{35}{2}=-14$$

أضف \frac{35}{2} إلى طرفي المعادلة.

$$-3A=\frac{7}{2}$$

قسمة طرفي المعادلة على -3.

$$A=-\frac{7}{6}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$A=-\frac{7}{6},B=\frac{7}{6}$$