حل {l}{-14y+3x=8}{24quad8x-9y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { - 14 y + 3 x = 8 } \\ { 24 \quad 8 x - 9 y = 7 } \end{array} \right.$$

حل مسائل y، x

$$x=\frac{26}{2661}\approx 0.009770763$$

$$y=-\frac{505}{887}\approx -0.569334837$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$-14y+3x=8,-9y+192x=7$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة y بعزل y على يسار علامة التساوي.

$$-14y+3x=8$$

اطرح 3x من طرفي المعادلة.

$$-14y=-3x+8$$

قسمة طرفي المعادلة على -14.

$$y=-\frac{1}{14}\left(-3x+8\right)$$

اضرب -\frac{1}{14} في -3x+8.

$$y=\frac{3}{14}x-\frac{4}{7}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{3x}{14}-\frac{4}{7} في المعادلة الأخرى، -9y+192x=7.

$$-9\left(\frac{3}{14}x-\frac{4}{7}\right)+192x=7$$

اضرب -9 في \frac{3x}{14}-\frac{4}{7}.

$$-\frac{27}{14}x+\frac{36}{7}+192x=7$$

اجمع -\frac{27x}{14} مع 192x.

$$\frac{2661}{14}x+\frac{36}{7}=7$$

اطرح \frac{36}{7} من طرفي المعادلة.

$$\frac{2661}{14}x=\frac{13}{7}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{2661}{14}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$x=\frac{26}{2661}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{26}{2661} في y=\frac{3}{14}x-\frac{4}{7}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y=\frac{3}{14}\times \frac{26}{2661}-\frac{4}{7}$$

اضرب \frac{3}{14} في \frac{26}{2661} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$y=\frac{13}{6209}-\frac{4}{7}$$

اجمع -\frac{4}{7} مع \frac{13}{6209} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$y=-\frac{505}{887}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=-\frac{505}{887},x=\frac{26}{2661}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$-14y+3x=8,-9y+192x=7$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}-14&3\\-9&192\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}-14&3\\-9&192\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-14&3\\-9&192\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14&3\\-9&192\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-14&3\\-9&192\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-14&3\\-9&192\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-14&3\\-9&192\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{192}{-14\times 192-3\left(-9\right)}&-\frac{3}{-14\times 192-3\left(-9\right)}\\-\frac{-9}{-14\times 192-3\left(-9\right)}&-\frac{14}{-14\times 192-3\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{64}{887}&\frac{1}{887}\\-\frac{3}{887}&\frac{14}{2661}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{64}{887}\times 8+\frac{1}{887}\times 7\\-\frac{3}{887}\times 8+\frac{14}{2661}\times 7\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{505}{887}\\\frac{26}{2661}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة y وx.

$$y=-\frac{505}{887},x=\frac{26}{2661}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$-14y+3x=8,-9y+192x=7$$

لجعل -14y و-9y متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -9 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في -14.

$$-9\left(-14\right)y-9\times 3x=-9\times 8,-14\left(-9\right)y-14\times 192x=-14\times 7$$

تبسيط.

$$126y-27x=-72,126y-2688x=-98$$

اطرح 126y-2688x=-98 من 126y-27x=-72 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$126y-126y-27x+2688x=-72+98$$

اجمع 126y مع -126y. حذف الحدين 126y و-126y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-27x+2688x=-72+98$$

اجمع -27x مع 2688x.

$$2661x=-72+98$$

اجمع -72 مع 98.

$$2661x=26$$

قسمة طرفي المعادلة على 2661.

$$x=\frac{26}{2661}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{26}{2661} في -9y+192x=7. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$-9y+192\times \frac{26}{2661}=7$$

اضرب 192 في \frac{26}{2661}.

$$-9y+\frac{1664}{887}=7$$

اطرح \frac{1664}{887} من طرفي المعادلة.

$$-9y=\frac{4545}{887}$$

قسمة طرفي المعادلة على -9.

$$y=-\frac{505}{887}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=-\frac{505}{887},x=\frac{26}{2661}$$