حل {l}{-12x+10y=-10}{6x-7y=-5}

$$\left. \begin{array} { l } { - 12 x + 10 y = - 10 } \\ { 6 x - 7 y = - 5 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=5$$

$$y=5$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$-12x+10y=-10,6x-7y=-5$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$-12x+10y=-10$$

اطرح 10y من طرفي المعادلة.

$$-12x=-10y-10$$

قسمة طرفي المعادلة على -12.

$$x=-\frac{1}{12}\left(-10y-10\right)$$

اضرب -\frac{1}{12} في -10y-10.

$$x=\frac{5}{6}y+\frac{5}{6}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{5+5y}{6} في المعادلة الأخرى، 6x-7y=-5.

$$6\left(\frac{5}{6}y+\frac{5}{6}\right)-7y=-5$$

اضرب 6 في \frac{5+5y}{6}.

$$5y+5-7y=-5$$

اجمع 5y مع -7y.

$$-2y+5=-5$$

اطرح 5 من طرفي المعادلة.

$$-2y=-10$$

قسمة طرفي المعادلة على -2.

$$y=5$$

عوّض عن y بالقيمة 5 في x=\frac{5}{6}y+\frac{5}{6}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{5}{6}\times 5+\frac{5}{6}$$

اضرب \frac{5}{6} في 5.

$$x=\frac{25+5}{6}$$

اجمع \frac{5}{6} مع \frac{25}{6} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=5$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=5,y=5$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$-12x+10y=-10,6x-7y=-5$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}-12&10\\6&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\-5\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}-12&10\\6&-7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-12&10\\6&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12&10\\6&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-12&10\\6&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-5\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-12&10\\6&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-5\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-12&10\\6&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-5\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{-12\left(-7\right)-10\times 6}&-\frac{10}{-12\left(-7\right)-10\times 6}\\-\frac{6}{-12\left(-7\right)-10\times 6}&-\frac{12}{-12\left(-7\right)-10\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-5\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{24}&-\frac{5}{12}\\-\frac{1}{4}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-5\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{24}\left(-10\right)-\frac{5}{12}\left(-5\right)\\-\frac{1}{4}\left(-10\right)-\frac{1}{2}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=5,y=5$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$-12x+10y=-10,6x-7y=-5$$

لجعل -12x و6x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 6 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في -12.

$$6\left(-12\right)x+6\times 10y=6\left(-10\right),-12\times 6x-12\left(-7\right)y=-12\left(-5\right)$$

تبسيط.

$$-72x+60y=-60,-72x+84y=60$$

اطرح -72x+84y=60 من -72x+60y=-60 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-72x+72x+60y-84y=-60-60$$

اجمع -72x مع 72x. حذف الحدين -72x و72x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$60y-84y=-60-60$$

اجمع 60y مع -84y.

$$-24y=-60-60$$

اجمع -60 مع -60.

$$-24y=-120$$

قسمة طرفي المعادلة على -24.

$$y=5$$

عوّض عن y بالقيمة 5 في 6x-7y=-5. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$6x-7\times 5=-5$$

اضرب -7 في 5.

$$6x-35=-5$$

أضف 35 إلى طرفي المعادلة.

$$6x=30$$

قسمة طرفي المعادلة على 6.

$$x=5$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=5,y=5$$