حل {l}{-10y+9x=-9}{10y+5x=-5}

$$\left. \begin{array} { l } { - 10 y + 9 x = - 9 } \\ { 10 y + 5 x = - 5 } \end{array} \right.$$

حل مسائل y، x

$$x=-1$$

$$y=0$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$-10y+9x=-9,10y+5x=-5$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة y بعزل y على يسار علامة التساوي.

$$-10y+9x=-9$$

اطرح 9x من طرفي المعادلة.

$$-10y=-9x-9$$

قسمة طرفي المعادلة على -10.

$$y=-\frac{1}{10}\left(-9x-9\right)$$

اضرب -\frac{1}{10} في -9x-9.

$$y=\frac{9}{10}x+\frac{9}{10}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{9+9x}{10} في المعادلة الأخرى، 10y+5x=-5.

$$10\left(\frac{9}{10}x+\frac{9}{10}\right)+5x=-5$$

اضرب 10 في \frac{9+9x}{10}.

$$9x+9+5x=-5$$

اجمع 9x مع 5x.

$$14x+9=-5$$

اطرح 9 من طرفي المعادلة.

$$14x=-14$$

قسمة طرفي المعادلة على 14.

$$x=-1$$

عوّض عن x بالقيمة -1 في y=\frac{9}{10}x+\frac{9}{10}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y=\frac{9}{10}\left(-1\right)+\frac{9}{10}$$

اضرب \frac{9}{10} في -1.

$$y=\frac{-9+9}{10}$$

اجمع \frac{9}{10} مع -\frac{9}{10} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$y=0$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=0,x=-1$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$-10y+9x=-9,10y+5x=-5$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}-10&9\\10&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-5\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}-10&9\\10&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-10&9\\10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10&9\\10&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&9\\10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-5\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&9\\10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-5\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&9\\10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-5\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{-10\times 5-9\times 10}&-\frac{9}{-10\times 5-9\times 10}\\-\frac{10}{-10\times 5-9\times 10}&-\frac{10}{-10\times 5-9\times 10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-5\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{28}&\frac{9}{140}\\\frac{1}{14}&\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-5\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{28}\left(-9\right)+\frac{9}{140}\left(-5\right)\\\frac{1}{14}\left(-9\right)+\frac{1}{14}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-1\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة y وx.

$$y=0,x=-1$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$-10y+9x=-9,10y+5x=-5$$

لجعل -10y و10y متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 10 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في -10.

$$10\left(-10\right)y+10\times 9x=10\left(-9\right),-10\times 10y-10\times 5x=-10\left(-5\right)$$

تبسيط.

$$-100y+90x=-90,-100y-50x=50$$

اطرح -100y-50x=50 من -100y+90x=-90 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-100y+100y+90x+50x=-90-50$$

اجمع -100y مع 100y. حذف الحدين -100y و100y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$90x+50x=-90-50$$

اجمع 90x مع 50x.

$$140x=-90-50$$

اجمع -90 مع -50.

$$140x=-140$$

قسمة طرفي المعادلة على 140.

$$x=-1$$

عوّض عن x بالقيمة -1 في 10y+5x=-5. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$10y+5\left(-1\right)=-5$$

اضرب 5 في -1.

$$10y-5=-5$$

أضف 5 إلى طرفي المعادلة.

$$10y=0$$

قسمة طرفي المعادلة على 10.

$$y=0$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=0,x=-1$$