حل {l}{-10x-7y=-5}{7x+5y=4}

$$\left. \begin{array} { l } { - 10 x - 7 y = - 5 } \\ { 7 x + 5 y = 4 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-3$$

$$y=5$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$-10x-7y=-5,7x+5y=4$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$-10x-7y=-5$$

أضف 7y إلى طرفي المعادلة.

$$-10x=7y-5$$

قسمة طرفي المعادلة على -10.

$$x=-\frac{1}{10}\left(7y-5\right)$$

اضرب -\frac{1}{10} في 7y-5.

$$x=-\frac{7}{10}y+\frac{1}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{7y}{10}+\frac{1}{2} في المعادلة الأخرى، 7x+5y=4.

$$7\left(-\frac{7}{10}y+\frac{1}{2}\right)+5y=4$$

اضرب 7 في -\frac{7y}{10}+\frac{1}{2}.

$$-\frac{49}{10}y+\frac{7}{2}+5y=4$$

اجمع -\frac{49y}{10} مع 5y.

$$\frac{1}{10}y+\frac{7}{2}=4$$

اطرح \frac{7}{2} من طرفي المعادلة.

$$\frac{1}{10}y=\frac{1}{2}$$

ضرب طرفي المعادلة في 10.

$$y=5$$

عوّض عن y بالقيمة 5 في x=-\frac{7}{10}y+\frac{1}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{7}{10}\times 5+\frac{1}{2}$$

اضرب -\frac{7}{10} في 5.

$$x=\frac{-7+1}{2}$$

اجمع \frac{1}{2} مع -\frac{7}{2} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-3,y=5$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$-10x-7y=-5,7x+5y=4$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}-10&-7\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}-10&-7\\7&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-10&-7\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10&-7\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&-7\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&-7\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&-7\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{-10\times 5-\left(-7\times 7\right)}&-\frac{-7}{-10\times 5-\left(-7\times 7\right)}\\-\frac{7}{-10\times 5-\left(-7\times 7\right)}&-\frac{10}{-10\times 5-\left(-7\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5&-7\\7&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\left(-5\right)-7\times 4\\7\left(-5\right)+10\times 4\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\5\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-3,y=5$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$-10x-7y=-5,7x+5y=4$$

لجعل -10x و7x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 7 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في -10.

$$7\left(-10\right)x+7\left(-7\right)y=7\left(-5\right),-10\times 7x-10\times 5y=-10\times 4$$

تبسيط.

$$-70x-49y=-35,-70x-50y=-40$$

اطرح -70x-50y=-40 من -70x-49y=-35 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-70x+70x-49y+50y=-35+40$$

اجمع -70x مع 70x. حذف الحدين -70x و70x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-49y+50y=-35+40$$

اجمع -49y مع 50y.

$$y=-35+40$$

اجمع -35 مع 40.

$$y=5$$

عوّض عن y بالقيمة 5 في 7x+5y=4. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$7x+5\times 5=4$$

اضرب 5 في 5.

$$7x+25=4$$

اطرح 25 من طرفي المعادلة.

$$7x=-21$$

قسمة طرفي المعادلة على 7.

$$x=-3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-3,y=5$$