حل {l}{-10x+6y=-14}{-x+4y=-15}

$$\left. \begin{array} { l } { - 10 x + 6 y = - 14 } \\ { - x + 4 y = - 15 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-1$$

$$y=-4$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$-10x+6y=-14,-x+4y=-15$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$-10x+6y=-14$$

اطرح 6y من طرفي المعادلة.

$$-10x=-6y-14$$

قسمة طرفي المعادلة على -10.

$$x=-\frac{1}{10}\left(-6y-14\right)$$

اضرب -\frac{1}{10} في -6y-14.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{7}{5}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{3y+7}{5} في المعادلة الأخرى، -x+4y=-15.

$$-\left(\frac{3}{5}y+\frac{7}{5}\right)+4y=-15$$

اضرب -1 في \frac{3y+7}{5}.

$$-\frac{3}{5}y-\frac{7}{5}+4y=-15$$

اجمع -\frac{3y}{5} مع 4y.

$$\frac{17}{5}y-\frac{7}{5}=-15$$

أضف \frac{7}{5} إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{17}{5}y=-\frac{68}{5}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{17}{5}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-4$$

عوّض عن y بالقيمة -4 في x=\frac{3}{5}y+\frac{7}{5}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{3}{5}\left(-4\right)+\frac{7}{5}$$

اضرب \frac{3}{5} في -4.

$$x=\frac{-12+7}{5}$$

اجمع \frac{7}{5} مع -\frac{12}{5} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-1,y=-4$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$-10x+6y=-14,-x+4y=-15$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}-10&6\\-1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\-15\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}-10&6\\-1&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-10&6\\-1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10&6\\-1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&6\\-1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-15\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&6\\-1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-15\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&6\\-1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-15\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{-10\times 4-6\left(-1\right)}&-\frac{6}{-10\times 4-6\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{-10\times 4-6\left(-1\right)}&-\frac{10}{-10\times 4-6\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-15\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{17}&\frac{3}{17}\\-\frac{1}{34}&\frac{5}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-15\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{17}\left(-14\right)+\frac{3}{17}\left(-15\right)\\-\frac{1}{34}\left(-14\right)+\frac{5}{17}\left(-15\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-4\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-1,y=-4$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$-10x+6y=-14,-x+4y=-15$$

لجعل -10x و-x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في -10.

$$-\left(-10\right)x-6y=-\left(-14\right),-10\left(-1\right)x-10\times 4y=-10\left(-15\right)$$

تبسيط.

$$10x-6y=14,10x-40y=150$$

اطرح 10x-40y=150 من 10x-6y=14 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$10x-10x-6y+40y=14-150$$

اجمع 10x مع -10x. حذف الحدين 10x و-10x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-6y+40y=14-150$$

اجمع -6y مع 40y.

$$34y=14-150$$

اجمع 14 مع -150.

$$34y=-136$$

قسمة طرفي المعادلة على 34.

$$y=-4$$

عوّض عن y بالقيمة -4 في -x+4y=-15. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-x+4\left(-4\right)=-15$$

اضرب 4 في -4.

$$-x-16=-15$$

أضف 16 إلى طرفي المعادلة.

$$-x=1$$

قسمة طرفي المعادلة على -1.

$$x=-1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-1,y=-4$$