حل {l}{-10x+20y=460}{30x+60y=1620}

$$\left. \begin{array} { l } { - 10 x + 20 y = 460 } \\ { 30 x + 60 y = 1620 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=4$$

$$y=25$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$-10x+20y=460,30x+60y=1620$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$-10x+20y=460$$

اطرح 20y من طرفي المعادلة.

$$-10x=-20y+460$$

قسمة طرفي المعادلة على -10.

$$x=-\frac{1}{10}\left(-20y+460\right)$$

اضرب -\frac{1}{10} في -20y+460.

$$x=2y-46$$

عوّض عن x بالقيمة -46+2y في المعادلة الأخرى، 30x+60y=1620.

$$30\left(2y-46\right)+60y=1620$$

اضرب 30 في -46+2y.

$$60y-1380+60y=1620$$

اجمع 60y مع 60y.

$$120y-1380=1620$$

أضف 1380 إلى طرفي المعادلة.

$$120y=3000$$

قسمة طرفي المعادلة على 120.

$$y=25$$

عوّض عن y بالقيمة 25 في x=2y-46. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=2\times 25-46$$

اضرب 2 في 25.

$$x=50-46$$

اجمع -46 مع 50.

$$x=4$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=4,y=25$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$-10x+20y=460,30x+60y=1620$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{60}{-10\times 60-20\times 30}&-\frac{20}{-10\times 60-20\times 30}\\-\frac{30}{-10\times 60-20\times 30}&-\frac{10}{-10\times 60-20\times 30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{20}&\frac{1}{60}\\\frac{1}{40}&\frac{1}{120}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{20}\times 460+\frac{1}{60}\times 1620\\\frac{1}{40}\times 460+\frac{1}{120}\times 1620\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\25\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=4,y=25$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$-10x+20y=460,30x+60y=1620$$

لجعل -10x و30x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 30 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في -10.

$$30\left(-10\right)x+30\times 20y=30\times 460,-10\times 30x-10\times 60y=-10\times 1620$$

تبسيط.

$$-300x+600y=13800,-300x-600y=-16200$$

اطرح -300x-600y=-16200 من -300x+600y=13800 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-300x+300x+600y+600y=13800+16200$$

اجمع -300x مع 300x. حذف الحدين -300x و300x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$600y+600y=13800+16200$$

اجمع 600y مع 600y.

$$1200y=13800+16200$$

اجمع 13800 مع 16200.

$$1200y=30000$$

قسمة طرفي المعادلة على 1200.

$$y=25$$

عوّض عن y بالقيمة 25 في 30x+60y=1620. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$30x+60\times 25=1620$$

اضرب 60 في 25.

$$30x+1500=1620$$

اطرح 1500 من طرفي المعادلة.

$$30x=120$$

قسمة طرفي المعادلة على 30.

$$x=4$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=4,y=25$$