حل {l}{-0.5x+0.1y=350}{0.4x+0.2y=0}{text{Thesolutionis}}

$$\left. \begin{array} { l } { - 0.5 x + 0.1 y = 350 } \\ { 0.4 x + 0.2 y = 0 } \\ { \text { The solution is } } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-500$$

$$y=1000$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$-0.5x+0.1y=350,0.4x+0.2y=0$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$-0.5x+0.1y=350$$

اطرح \frac{y}{10} من طرفي المعادلة.

$$-0.5x=-0.1y+350$$

ضرب طرفي المعادلة في -2.

$$x=-2\left(-0.1y+350\right)$$

اضرب -2 في -\frac{y}{10}+350.

$$x=0.2y-700$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{y}{5}-700 في المعادلة الأخرى، 0.4x+0.2y=0.

$$0.4\left(0.2y-700\right)+0.2y=0$$

اضرب 0.4 في \frac{y}{5}-700.

$$0.08y-280+0.2y=0$$

اجمع \frac{2y}{25} مع \frac{y}{5}.

$$0.28y-280=0$$

أضف 280 إلى طرفي المعادلة.

$$0.28y=280$$

اقسم طرفي المعادلة على 0.28، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=1000$$

عوّض عن y بالقيمة 1000 في x=0.2y-700. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=0.2\times 1000-700$$

اضرب 0.2 في 1000.

$$x=200-700$$

اجمع -700 مع 200.

$$x=-500$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-500,y=1000$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$-0.5x+0.1y=350,0.4x+0.2y=0$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}-0.5&0.1\\0.4&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}350\\0\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}-0.5&0.1\\0.4&0.2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-0.5&0.1\\0.4&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-0.5&0.1\\0.4&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-0.5&0.1\\0.4&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}350\\0\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-0.5&0.1\\0.4&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}350\\0\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-0.5&0.1\\0.4&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}350\\0\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.2}{-0.5\times 0.2-0.1\times 0.4}&-\frac{0.1}{-0.5\times 0.2-0.1\times 0.4}\\-\frac{0.4}{-0.5\times 0.2-0.1\times 0.4}&-\frac{0.5}{-0.5\times 0.2-0.1\times 0.4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}350\\0\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{7}&\frac{5}{7}\\\frac{20}{7}&\frac{25}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}350\\0\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{7}\times 350\\\frac{20}{7}\times 350\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-500\\1000\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-500,y=1000$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$-0.5x+0.1y=350,0.4x+0.2y=0$$

لجعل -\frac{x}{2} و\frac{2x}{5} متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 0.4 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في -0.5.

$$0.4\left(-0.5\right)x+0.4\times 0.1y=0.4\times 350,-0.5\times 0.4x-0.5\times 0.2y=0$$

تبسيط.

$$-0.2x+0.04y=140,-0.2x-0.1y=0$$

اطرح -0.2x-0.1y=0 من -0.2x+0.04y=140 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-0.2x+0.2x+0.04y+0.1y=140$$

اجمع -\frac{x}{5} مع \frac{x}{5}. حذف الحدين -\frac{x}{5} و\frac{x}{5}، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$0.04y+0.1y=140$$

اجمع \frac{y}{25} مع \frac{y}{10}.

$$0.14y=140$$

اقسم طرفي المعادلة على 0.14، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=1000$$

عوّض عن y بالقيمة 1000 في 0.4x+0.2y=0. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$0.4x+0.2\times 1000=0$$

اضرب 0.2 في 1000.

$$0.4x+200=0$$

اطرح 200 من طرفي المعادلة.

$$0.4x=-200$$

اقسم طرفي المعادلة على 0.4، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$x=-500$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-500,y=1000$$