حل {l}{text{onmethod.}5x-2y=4}{x=y-2}

$$\left. \begin{array} { l } { \text { on method. } 5 x - 2 y = 4 } \\ { x = y - 2 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2.666666667$$

$$y = \frac{14}{3} = 4\frac{2}{3} \approx 4.666666667$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح y من الطرفين.

$$x-y=-2$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$5x-2y=4,x-y=-2$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$5x-2y=4$$

أضف 2y إلى طرفي المعادلة.

$$5x=2y+4$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+4\right)$$

اضرب \frac{1}{5} في 4+2y.

$$x=\frac{2}{5}y+\frac{4}{5}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{4+2y}{5} في المعادلة الأخرى، x-y=-2.

$$\frac{2}{5}y+\frac{4}{5}-y=-2$$

اجمع \frac{2y}{5} مع -y.

$$-\frac{3}{5}y+\frac{4}{5}=-2$$

اطرح \frac{4}{5} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{3}{5}y=-\frac{14}{5}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{3}{5}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{14}{3}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{14}{3} في x=\frac{2}{5}y+\frac{4}{5}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{2}{5}\times \frac{14}{3}+\frac{4}{5}$$

اضرب \frac{2}{5} في \frac{14}{3} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{28}{15}+\frac{4}{5}$$

اجمع \frac{4}{5} مع \frac{28}{15} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{8}{3}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{8}{3},y=\frac{14}{3}$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح y من الطرفين.

$$x-y=-2$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$5x-2y=4,x-y=-2$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

في المصفوفة 2\times 2 في هذا المثال \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة هي \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمسألة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}&\frac{5}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{5}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 4-\frac{2}{3}\left(-2\right)\\\frac{1}{3}\times 4-\frac{5}{3}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3}\\\frac{14}{3}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{8}{3},y=\frac{14}{3}$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح y من الطرفين.

$$x-y=-2$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$5x-2y=4,x-y=-2$$

لجعل 5x وx متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 5.

$$5x-2y=4,5x+5\left(-1\right)y=5\left(-2\right)$$

تبسيط.

$$5x-2y=4,5x-5y=-10$$

اطرح 5x-5y=-10 من 5x-2y=4 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$5x-5x-2y+5y=4+10$$

اجمع 5x مع -5x. حذف الحدين 5x و-5x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-2y+5y=4+10$$

اجمع -2y مع 5y.

$$3y=4+10$$

اجمع 4 مع 10.

$$3y=14$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$y=\frac{14}{3}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{14}{3} في x-y=-2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x-\frac{14}{3}=-2$$

أضف \frac{14}{3} إلى طرفي المعادلة.

$$x=\frac{8}{3}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{8}{3},y=\frac{14}{3}$$