حل {l}{y+2z/3=4}{5y/6+7z/3=8}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { y + 2 z } { 3 } = 4 } \\ { \frac { 5 y } { 6 } + \frac { 7 z } { 3 } = 8 } \end{array} \right.$$

حل مسائل y، z

$$y=18$$

$$z=-3$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. ضرب طرفي المعادلة في 3.

$$y+2z=4\times 3$$

اضرب 4 في 3 لتحصل على 12.

$$y+2z=12$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. ضرب طرفي المعادلة في 6، أقل مضاعف مشترك لـ 6,3.

$$5y+2\times 7z=48$$

اضرب 2 في 7 لتحصل على 14.

$$5y+14z=48$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$y+2z=12,5y+14z=48$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة y بعزل y على يسار علامة التساوي.

$$y+2z=12$$

اطرح 2z من طرفي المعادلة.

$$y=-2z+12$$

عوّض عن y بالقيمة -2z+12 في المعادلة الأخرى، 5y+14z=48.

$$5\left(-2z+12\right)+14z=48$$

اضرب 5 في -2z+12.

$$-10z+60+14z=48$$

اجمع -10z مع 14z.

$$4z+60=48$$

اطرح 60 من طرفي المعادلة.

$$4z=-12$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$z=-3$$

عوّض عن z بالقيمة -3 في y=-2z+12. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y=-2\left(-3\right)+12$$

اضرب -2 في -3.

$$y=6+12$$

اجمع 12 مع 6.

$$y=18$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=18,z=-3$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. ضرب طرفي المعادلة في 3.

$$y+2z=4\times 3$$

اضرب 4 في 3 لتحصل على 12.

$$y+2z=12$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. ضرب طرفي المعادلة في 6، أقل مضاعف مشترك لـ 6,3.

$$5y+2\times 7z=48$$

اضرب 2 في 7 لتحصل على 14.

$$5y+14z=48$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$y+2z=12,5y+14z=48$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{14}{14-2\times 5}&-\frac{2}{14-2\times 5}\\-\frac{5}{14-2\times 5}&\frac{1}{14-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{5}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}\times 12-\frac{1}{2}\times 48\\-\frac{5}{4}\times 12+\frac{1}{4}\times 48\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\-3\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة y وz.

$$y=18,z=-3$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. ضرب طرفي المعادلة في 3.

$$y+2z=4\times 3$$

اضرب 4 في 3 لتحصل على 12.

$$y+2z=12$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. ضرب طرفي المعادلة في 6، أقل مضاعف مشترك لـ 6,3.

$$5y+2\times 7z=48$$

اضرب 2 في 7 لتحصل على 14.

$$5y+14z=48$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$y+2z=12,5y+14z=48$$

لجعل y و5y متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 5 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$5y+5\times 2z=5\times 12,5y+14z=48$$

تبسيط.

$$5y+10z=60,5y+14z=48$$

اطرح 5y+14z=48 من 5y+10z=60 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$5y-5y+10z-14z=60-48$$

اجمع 5y مع -5y. حذف الحدين 5y و-5y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$10z-14z=60-48$$

اجمع 10z مع -14z.

$$-4z=60-48$$

اجمع 60 مع -48.

$$-4z=12$$

قسمة طرفي المعادلة على -4.

$$z=-3$$

عوّض عن z بالقيمة -3 في 5y+14z=48. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$5y+14\left(-3\right)=48$$

اضرب 14 في -3.

$$5y-42=48$$

أضف 42 إلى طرفي المعادلة.

$$5y=90$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$y=18$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=18,z=-3$$