حل {l}{y+1/3x-4=1/2}{5x+y/3x+11=1}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { y + 1 } { 3 x - 4 } = \frac { 1 } { 2 } } \\ { \frac { 5 x + y } { 3 x + 11 } = 1 } \end{array} \right.$$

حل مسائل y، x

$$x=4$$

$$y=3$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. لا يمكن أن يكون المتغير x مساوياً لـ \frac{4}{3} لأن القسمة على صفر غير محددة. ضرب طرفي المعادلة في 2\left(3x-4\right)، أقل مضاعف مشترك لـ 3x-4,2.

$$2\left(y+1\right)=3x-4$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 2 في y+1.

$$2y+2=3x-4$$

اطرح 3x من الطرفين.

$$2y+2-3x=-4$$

اطرح 2 من الطرفين.

$$2y-3x=-4-2$$

اطرح 2 من -4 لتحصل على -6.

$$2y-3x=-6$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. لا يمكن أن يكون المتغير x مساوياً لـ -\frac{11}{3} لأن القسمة على صفر غير محددة. اضرب طرفي المعادلة في 3x+11.

$$5x+y=3x+11$$

اطرح 3x من الطرفين.

$$5x+y-3x=11$$

اجمع 5x مع -3x لتحصل على 2x.

$$2x+y=11$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2y-3x=-6,y+2x=11$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة y بعزل y على يسار علامة التساوي.

$$2y-3x=-6$$

أضف 3x إلى طرفي المعادلة.

$$2y=3x-6$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$y=\frac{1}{2}\left(3x-6\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -6+3x.

$$y=\frac{3}{2}x-3$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{3x}{2}-3 في المعادلة الأخرى، y+2x=11.

$$\frac{3}{2}x-3+2x=11$$

اجمع \frac{3x}{2} مع 2x.

$$\frac{7}{2}x-3=11$$

أضف 3 إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{7}{2}x=14$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{7}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$x=4$$

عوّض عن x بالقيمة 4 في y=\frac{3}{2}x-3. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y=\frac{3}{2}\times 4-3$$

اضرب \frac{3}{2} في 4.

$$y=6-3$$

اجمع -3 مع 6.

$$y=3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=3,x=4$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. لا يمكن أن يكون المتغير x مساوياً لـ \frac{4}{3} لأن القسمة على صفر غير محددة. ضرب طرفي المعادلة في 2\left(3x-4\right)، أقل مضاعف مشترك لـ 3x-4,2.

$$2\left(y+1\right)=3x-4$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 2 في y+1.

$$2y+2=3x-4$$

اطرح 3x من الطرفين.

$$2y+2-3x=-4$$

اطرح 2 من الطرفين.

$$2y-3x=-4-2$$

اطرح 2 من -4 لتحصل على -6.

$$2y-3x=-6$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. لا يمكن أن يكون المتغير x مساوياً لـ -\frac{11}{3} لأن القسمة على صفر غير محددة. اضرب طرفي المعادلة في 3x+11.

$$5x+y=3x+11$$

اطرح 3x من الطرفين.

$$5x+y-3x=11$$

اجمع 5x مع -3x لتحصل على 2x.

$$2x+y=11$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2y-3x=-6,y+2x=11$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

في المصفوفة 2\times 2 في هذا المثال \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة هي \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمسألة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{2\times 2-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{2\times 2-\left(-3\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{3}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\left(-6\right)+\frac{3}{7}\times 11\\-\frac{1}{7}\left(-6\right)+\frac{2}{7}\times 11\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة y وx.

$$y=3,x=4$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. لا يمكن أن يكون المتغير x مساوياً لـ \frac{4}{3} لأن القسمة على صفر غير محددة. ضرب طرفي المعادلة في 2\left(3x-4\right)، أقل مضاعف مشترك لـ 3x-4,2.

$$2\left(y+1\right)=3x-4$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 2 في y+1.

$$2y+2=3x-4$$

اطرح 3x من الطرفين.

$$2y+2-3x=-4$$

اطرح 2 من الطرفين.

$$2y-3x=-4-2$$

اطرح 2 من -4 لتحصل على -6.

$$2y-3x=-6$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. لا يمكن أن يكون المتغير x مساوياً لـ -\frac{11}{3} لأن القسمة على صفر غير محددة. اضرب طرفي المعادلة في 3x+11.

$$5x+y=3x+11$$

اطرح 3x من الطرفين.

$$5x+y-3x=11$$

اجمع 5x مع -3x لتحصل على 2x.

$$2x+y=11$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2y-3x=-6,y+2x=11$$

لجعل 2y وy متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$2y-3x=-6,2y+2\times 2x=2\times 11$$

تبسيط.

$$2y-3x=-6,2y+4x=22$$

اطرح 2y+4x=22 من 2y-3x=-6 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$2y-2y-3x-4x=-6-22$$

اجمع 2y مع -2y. حذف الحدين 2y و-2y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-3x-4x=-6-22$$

اجمع -3x مع -4x.

$$-7x=-6-22$$

اجمع -6 مع -22.

$$-7x=-28$$

قسمة طرفي المعادلة على -7.

$$x=4$$

عوّض عن x بالقيمة 4 في y+2x=11. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y+2\times 4=11$$

اضرب 2 في 4.

$$y+8=11$$

اطرح 8 من طرفي المعادلة.

$$y=3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=3,x=4$$