حل {l}{x-3/5=y-7/2}{11x=13y}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x - 3 } { 5 } = \frac { y - 7 } { 2 } } \\ { 11 x = 13 y } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=13$$

$$y=11$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. ضرب طرفي المعادلة في 10، أقل مضاعف مشترك لـ 5,2.

$$2\left(x-3\right)=5\left(y-7\right)$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 2 في x-3.

$$2x-6=5\left(y-7\right)$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 5 في y-7.

$$2x-6=5y-35$$

اطرح 5y من الطرفين.

$$2x-6-5y=-35$$

إضافة 6 لكلا الجانبين.

$$2x-5y=-35+6$$

اجمع -35 مع 6 لتحصل على -29.

$$2x-5y=-29$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 13y من الطرفين.

$$11x-13y=0$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x-5y=-29,11x-13y=0$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x-5y=-29$$

أضف 5y إلى طرفي المعادلة.

$$2x=5y-29$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(5y-29\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في 5y-29.

$$x=\frac{5}{2}y-\frac{29}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{5y-29}{2} في المعادلة الأخرى، 11x-13y=0.

$$11\left(\frac{5}{2}y-\frac{29}{2}\right)-13y=0$$

اضرب 11 في \frac{5y-29}{2}.

$$\frac{55}{2}y-\frac{319}{2}-13y=0$$

اجمع \frac{55y}{2} مع -13y.

$$\frac{29}{2}y-\frac{319}{2}=0$$

أضف \frac{319}{2} إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{29}{2}y=\frac{319}{2}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{29}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=11$$

عوّض عن y بالقيمة 11 في x=\frac{5}{2}y-\frac{29}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{5}{2}\times 11-\frac{29}{2}$$

اضرب \frac{5}{2} في 11.

$$x=\frac{55-29}{2}$$

اجمع -\frac{29}{2} مع \frac{55}{2} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=13$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=13,y=11$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. ضرب طرفي المعادلة في 10، أقل مضاعف مشترك لـ 5,2.

$$2\left(x-3\right)=5\left(y-7\right)$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 2 في x-3.

$$2x-6=5\left(y-7\right)$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 5 في y-7.

$$2x-6=5y-35$$

اطرح 5y من الطرفين.

$$2x-6-5y=-35$$

إضافة 6 لكلا الجانبين.

$$2x-5y=-35+6$$

اجمع -35 مع 6 لتحصل على -29.

$$2x-5y=-29$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 13y من الطرفين.

$$11x-13y=0$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x-5y=-29,11x-13y=0$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&-5\\11&-13\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-29\\0\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&-5\\11&-13\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\11&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-5\\11&-13\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\11&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-29\\0\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\11&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-29\\0\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\11&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-29\\0\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{2\left(-13\right)-\left(-5\times 11\right)}&-\frac{-5}{2\left(-13\right)-\left(-5\times 11\right)}\\-\frac{11}{2\left(-13\right)-\left(-5\times 11\right)}&\frac{2}{2\left(-13\right)-\left(-5\times 11\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-29\\0\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{29}&\frac{5}{29}\\-\frac{11}{29}&\frac{2}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-29\\0\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{29}\left(-29\right)\\-\frac{11}{29}\left(-29\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\11\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=13,y=11$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. ضرب طرفي المعادلة في 10، أقل مضاعف مشترك لـ 5,2.

$$2\left(x-3\right)=5\left(y-7\right)$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 2 في x-3.

$$2x-6=5\left(y-7\right)$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 5 في y-7.

$$2x-6=5y-35$$

اطرح 5y من الطرفين.

$$2x-6-5y=-35$$

إضافة 6 لكلا الجانبين.

$$2x-5y=-35+6$$

اجمع -35 مع 6 لتحصل على -29.

$$2x-5y=-29$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 13y من الطرفين.

$$11x-13y=0$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x-5y=-29,11x-13y=0$$

لجعل 2x و11x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 11 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$11\times 2x+11\left(-5\right)y=11\left(-29\right),2\times 11x+2\left(-13\right)y=0$$

تبسيط.

$$22x-55y=-319,22x-26y=0$$

اطرح 22x-26y=0 من 22x-55y=-319 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$22x-22x-55y+26y=-319$$

اجمع 22x مع -22x. حذف الحدين 22x و-22x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-55y+26y=-319$$

اجمع -55y مع 26y.

$$-29y=-319$$

قسمة طرفي المعادلة على -29.

$$y=11$$

عوّض عن y بالقيمة 11 في 11x-13y=0. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$11x-13\times 11=0$$

اضرب -13 في 11.

$$11x-143=0$$

أضف 143 إلى طرفي المعادلة.

$$11x=143$$

قسمة طرفي المعادلة على 11.

$$x=13$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=13,y=11$$