حل {l}{x/5+y/4=4/5}{x/2+frac{y}{8}=2}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 5 } + \frac { y } { 4 } = \frac { 4 } { 5 } } \\ { \frac { x } { 2 } + \frac { y } { 8 } = 2 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=4$$

$$y=0$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$\frac{1}{5}x+\frac{1}{4}y=\frac{4}{5},\frac{1}{2}x+\frac{1}{8}y=2$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$\frac{1}{5}x+\frac{1}{4}y=\frac{4}{5}$$

اطرح \frac{y}{4} من طرفي المعادلة.

$$\frac{1}{5}x=-\frac{1}{4}y+\frac{4}{5}$$

ضرب طرفي المعادلة في 5.

$$x=5\left(-\frac{1}{4}y+\frac{4}{5}\right)$$

اضرب 5 في -\frac{y}{4}+\frac{4}{5}.

$$x=-\frac{5}{4}y+4$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{5y}{4}+4 في المعادلة الأخرى، \frac{1}{2}x+\frac{1}{8}y=2.

$$\frac{1}{2}\left(-\frac{5}{4}y+4\right)+\frac{1}{8}y=2$$

اضرب \frac{1}{2} في -\frac{5y}{4}+4.

$$-\frac{5}{8}y+2+\frac{1}{8}y=2$$

اجمع -\frac{5y}{8} مع \frac{y}{8}.

$$-\frac{1}{2}y+2=2$$

اطرح 2 من طرفي المعادلة.

$$-\frac{1}{2}y=0$$

ضرب طرفي المعادلة في -2.

$$y=0$$

عوّض عن y بالقيمة 0 في x=-\frac{5}{4}y+4. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=4$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=4,y=0$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$\frac{1}{5}x+\frac{1}{4}y=\frac{4}{5},\frac{1}{2}x+\frac{1}{8}y=2$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}\\2\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}\\2\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}\\2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}\\2\end{matrix}\right)$$

في المصفوفة 2\times 2 في هذا المثال \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة هي \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمسألة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{5}\times \frac{1}{8}-\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}}&-\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{5}\times \frac{1}{8}-\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}}\\-\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{5}\times \frac{1}{8}-\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}}&\frac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{5}\times \frac{1}{8}-\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}\\2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{4}&\frac{5}{2}\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}\\2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{4}\times \frac{4}{5}+\frac{5}{2}\times 2\\5\times \frac{4}{5}-2\times 2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\0\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=4,y=0$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$\frac{1}{5}x+\frac{1}{4}y=\frac{4}{5},\frac{1}{2}x+\frac{1}{8}y=2$$

لجعل \frac{x}{5} و\frac{x}{2} متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في \frac{1}{2} وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في \frac{1}{5}.

$$\frac{1}{2}\times \frac{1}{5}x+\frac{1}{2}\times \frac{1}{4}y=\frac{1}{2}\times \frac{4}{5},\frac{1}{5}\times \frac{1}{2}x+\frac{1}{5}\times \frac{1}{8}y=\frac{1}{5}\times 2$$

تبسيط.

$$\frac{1}{10}x+\frac{1}{8}y=\frac{2}{5},\frac{1}{10}x+\frac{1}{40}y=\frac{2}{5}$$

اطرح \frac{1}{10}x+\frac{1}{40}y=\frac{2}{5} من \frac{1}{10}x+\frac{1}{8}y=\frac{2}{5} عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$\frac{1}{10}x-\frac{1}{10}x+\frac{1}{8}y-\frac{1}{40}y=\frac{2-2}{5}$$

اجمع \frac{x}{10} مع -\frac{x}{10}. حذف الحدين \frac{x}{10} و-\frac{x}{10}، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$\frac{1}{8}y-\frac{1}{40}y=\frac{2-2}{5}$$

اجمع \frac{y}{8} مع -\frac{y}{40}.

$$\frac{1}{10}y=\frac{2-2}{5}$$

اجمع \frac{2}{5} مع -\frac{2}{5} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$\frac{1}{10}y=0$$

ضرب طرفي المعادلة في 10.

$$y=0$$

عوّض عن y بالقيمة 0 في \frac{1}{2}x+\frac{1}{8}y=2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$\frac{1}{2}x=2$$

ضرب طرفي المعادلة في 2.

$$x=4$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=4,y=0$$