حل {l}{x/47+y=86}{x+y/25=49}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 47 } + y = 86 } \\ { x + \frac { y } { 25 } = 49 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{53533}{1174} = 45\frac{703}{1174} \approx 45.598807496$$

$$y = \frac{99825}{1174} = 85\frac{35}{1174} \approx 85.029812606$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$\frac{1}{47}x+y=86,x+\frac{1}{25}y=49$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$\frac{1}{47}x+y=86$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$\frac{1}{47}x=-y+86$$

ضرب طرفي المعادلة في 47.

$$x=47\left(-y+86\right)$$

اضرب 47 في -y+86.

$$x=-47y+4042$$

عوّض عن x بالقيمة -47y+4042 في المعادلة الأخرى، x+\frac{1}{25}y=49.

$$-47y+4042+\frac{1}{25}y=49$$

اجمع -47y مع \frac{y}{25}.

$$-\frac{1174}{25}y+4042=49$$

اطرح 4042 من طرفي المعادلة.

$$-\frac{1174}{25}y=-3993$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{1174}{25}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{99825}{1174}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{99825}{1174} في x=-47y+4042. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-47\times \frac{99825}{1174}+4042$$

اضرب -47 في \frac{99825}{1174}.

$$x=-\frac{4691775}{1174}+4042$$

اجمع 4042 مع -\frac{4691775}{1174}.

$$x=\frac{53533}{1174}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{53533}{1174},y=\frac{99825}{1174}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$\frac{1}{47}x+y=86,x+\frac{1}{25}y=49$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{47}&1\\1&\frac{1}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}86\\49\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}\frac{1}{47}&1\\1&\frac{1}{25}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{47}&1\\1&\frac{1}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{47}&1\\1&\frac{1}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{47}&1\\1&\frac{1}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}86\\49\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{47}&1\\1&\frac{1}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}86\\49\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{47}&1\\1&\frac{1}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}86\\49\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{25}}{\frac{1}{47}\times \frac{1}{25}-1}&-\frac{1}{\frac{1}{47}\times \frac{1}{25}-1}\\-\frac{1}{\frac{1}{47}\times \frac{1}{25}-1}&\frac{\frac{1}{47}}{\frac{1}{47}\times \frac{1}{25}-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}86\\49\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{47}{1174}&\frac{1175}{1174}\\\frac{1175}{1174}&-\frac{25}{1174}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}86\\49\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{47}{1174}\times 86+\frac{1175}{1174}\times 49\\\frac{1175}{1174}\times 86-\frac{25}{1174}\times 49\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{53533}{1174}\\\frac{99825}{1174}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{53533}{1174},y=\frac{99825}{1174}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$\frac{1}{47}x+y=86,x+\frac{1}{25}y=49$$

لجعل \frac{x}{47} وx متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في \frac{1}{47}.

$$\frac{1}{47}x+y=86,\frac{1}{47}x+\frac{1}{47}\times \frac{1}{25}y=\frac{1}{47}\times 49$$

تبسيط.

$$\frac{1}{47}x+y=86,\frac{1}{47}x+\frac{1}{1175}y=\frac{49}{47}$$

اطرح \frac{1}{47}x+\frac{1}{1175}y=\frac{49}{47} من \frac{1}{47}x+y=86 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$\frac{1}{47}x-\frac{1}{47}x+y-\frac{1}{1175}y=86-\frac{49}{47}$$

اجمع \frac{x}{47} مع -\frac{x}{47}. حذف الحدين \frac{x}{47} و-\frac{x}{47}، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$y-\frac{1}{1175}y=86-\frac{49}{47}$$

اجمع y مع -\frac{y}{1175}.

$$\frac{1174}{1175}y=86-\frac{49}{47}$$

اجمع 86 مع -\frac{49}{47}.

$$\frac{1174}{1175}y=\frac{3993}{47}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{1174}{1175}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{99825}{1174}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{99825}{1174} في x+\frac{1}{25}y=49. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x+\frac{1}{25}\times \frac{99825}{1174}=49$$

اضرب \frac{1}{25} في \frac{99825}{1174} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x+\frac{3993}{1174}=49$$

اطرح \frac{3993}{1174} من طرفي المعادلة.

$$x=\frac{53533}{1174}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{53533}{1174},y=\frac{99825}{1174}$$