حل {l}{x/36-y=21}{x-y/20=16}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 36 } - y = 21 } \\ { x - \frac { y } { 20 } = 16 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{10764}{719} = 14\frac{698}{719} \approx 14.970792768$$

$$y = -\frac{14800}{719} = -20\frac{420}{719} \approx -20.584144645$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اضرب طرفي المعادلة في 36.

$$x-36y=756$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اضرب طرفي المعادلة في 20.

$$20x-y=320$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x-36y=756,20x-y=320$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x-36y=756$$

أضف 36y إلى طرفي المعادلة.

$$x=36y+756$$

عوّض عن x بالقيمة 756+36y في المعادلة الأخرى، 20x-y=320.

$$20\left(36y+756\right)-y=320$$

اضرب 20 في 756+36y.

$$720y+15120-y=320$$

اجمع 720y مع -y.

$$719y+15120=320$$

اطرح 15120 من طرفي المعادلة.

$$719y=-14800$$

قسمة طرفي المعادلة على 719.

$$y=-\frac{14800}{719}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{14800}{719} في x=36y+756. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=36\left(-\frac{14800}{719}\right)+756$$

اضرب 36 في -\frac{14800}{719}.

$$x=-\frac{532800}{719}+756$$

اجمع 756 مع -\frac{532800}{719}.

$$x=\frac{10764}{719}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{10764}{719},y=-\frac{14800}{719}$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اضرب طرفي المعادلة في 36.

$$x-36y=756$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اضرب طرفي المعادلة في 20.

$$20x-y=320$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x-36y=756,20x-y=320$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}756\\320\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}756\\320\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}756\\320\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}756\\320\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-36\times 20\right)}&-\frac{-36}{-1-\left(-36\times 20\right)}\\-\frac{20}{-1-\left(-36\times 20\right)}&\frac{1}{-1-\left(-36\times 20\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}756\\320\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{719}&\frac{36}{719}\\-\frac{20}{719}&\frac{1}{719}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}756\\320\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{719}\times 756+\frac{36}{719}\times 320\\-\frac{20}{719}\times 756+\frac{1}{719}\times 320\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10764}{719}\\-\frac{14800}{719}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{10764}{719},y=-\frac{14800}{719}$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اضرب طرفي المعادلة في 36.

$$x-36y=756$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اضرب طرفي المعادلة في 20.

$$20x-y=320$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x-36y=756,20x-y=320$$

لجعل x و20x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 20 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$20x+20\left(-36\right)y=20\times 756,20x-y=320$$

تبسيط.

$$20x-720y=15120,20x-y=320$$

اطرح 20x-y=320 من 20x-720y=15120 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$20x-20x-720y+y=15120-320$$

اجمع 20x مع -20x. حذف الحدين 20x و-20x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-720y+y=15120-320$$

اجمع -720y مع y.

$$-719y=15120-320$$

اجمع 15120 مع -320.

$$-719y=14800$$

قسمة طرفي المعادلة على -719.

$$y=-\frac{14800}{719}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{14800}{719} في 20x-y=320. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$20x-\left(-\frac{14800}{719}\right)=320$$

اطرح \frac{14800}{719} من طرفي المعادلة.

$$20x=\frac{215280}{719}$$

قسمة طرفي المعادلة على 20.

$$x=\frac{10764}{719}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{10764}{719},y=-\frac{14800}{719}$$