حل {l}{x/3-y/2=8}{x/5+y/3=1}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 3 } - \frac { y } { 2 } = 8 } \\ { \frac { x } { 5 } + \frac { y } { 3 } = 1 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=15$$

$$y=-6$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. ضرب طرفي المعادلة في 6، أقل مضاعف مشترك لـ 3,2.

$$2x-3y=48$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. ضرب طرفي المعادلة في 15، أقل مضاعف مشترك لـ 5,3.

$$3x+5y=15$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x-3y=48,3x+5y=15$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x-3y=48$$

أضف 3y إلى طرفي المعادلة.

$$2x=3y+48$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+48\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في 48+3y.

$$x=\frac{3}{2}y+24$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{3y}{2}+24 في المعادلة الأخرى، 3x+5y=15.

$$3\left(\frac{3}{2}y+24\right)+5y=15$$

اضرب 3 في \frac{3y}{2}+24.

$$\frac{9}{2}y+72+5y=15$$

اجمع \frac{9y}{2} مع 5y.

$$\frac{19}{2}y+72=15$$

اطرح 72 من طرفي المعادلة.

$$\frac{19}{2}y=-57$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{19}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-6$$

عوّض عن y بالقيمة -6 في x=\frac{3}{2}y+24. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{3}{2}\left(-6\right)+24$$

اضرب \frac{3}{2} في -6.

$$x=-9+24$$

اجمع 24 مع -9.

$$x=15$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=15,y=-6$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. ضرب طرفي المعادلة في 6، أقل مضاعف مشترك لـ 3,2.

$$2x-3y=48$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. ضرب طرفي المعادلة في 15، أقل مضاعف مشترك لـ 5,3.

$$3x+5y=15$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x-3y=48,3x+5y=15$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

في المصفوفة 2\times 2 في هذا المثال \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة هي \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمسألة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}&\frac{3}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}\times 48+\frac{3}{19}\times 15\\-\frac{3}{19}\times 48+\frac{2}{19}\times 15\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\-6\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=15,y=-6$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. ضرب طرفي المعادلة في 6، أقل مضاعف مشترك لـ 3,2.

$$2x-3y=48$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. ضرب طرفي المعادلة في 15، أقل مضاعف مشترك لـ 5,3.

$$3x+5y=15$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x-3y=48,3x+5y=15$$

لجعل 2x و3x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\times 48,2\times 3x+2\times 5y=2\times 15$$

تبسيط.

$$6x-9y=144,6x+10y=30$$

اطرح 6x+10y=30 من 6x-9y=144 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$6x-6x-9y-10y=144-30$$

اجمع 6x مع -6x. حذف الحدين 6x و-6x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-9y-10y=144-30$$

اجمع -9y مع -10y.

$$-19y=144-30$$

اجمع 144 مع -30.

$$-19y=114$$

قسمة طرفي المعادلة على -19.

$$y=-6$$

عوّض عن y بالقيمة -6 في 3x+5y=15. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$3x+5\left(-6\right)=15$$

اضرب 5 في -6.

$$3x-30=15$$

أضف 30 إلى طرفي المعادلة.

$$3x=45$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=15$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=15,y=-6$$