حل {l}{x/3+y/5=7}{x/6-2y/5=-4}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 5 } = 7 } \\ { \frac { x } { 6 } - \frac { 2 y } { 5 } = - 4 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=12$$

$$y=15$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. ضرب طرفي المعادلة في 15، أقل مضاعف مشترك لـ 3,5.

$$5x+3y=105$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. ضرب طرفي المعادلة في 30، أقل مضاعف مشترك لـ 6,5.

$$5x-6\times 2y=-120$$

اضرب -6 في 2 لتحصل على -12.

$$5x-12y=-120$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$5x+3y=105,5x-12y=-120$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$5x+3y=105$$

اطرح 3y من طرفي المعادلة.

$$5x=-3y+105$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+105\right)$$

اضرب \frac{1}{5} في -3y+105.

$$x=-\frac{3}{5}y+21$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{3y}{5}+21 في المعادلة الأخرى، 5x-12y=-120.

$$5\left(-\frac{3}{5}y+21\right)-12y=-120$$

اضرب 5 في -\frac{3y}{5}+21.

$$-3y+105-12y=-120$$

اجمع -3y مع -12y.

$$-15y+105=-120$$

اطرح 105 من طرفي المعادلة.

$$-15y=-225$$

قسمة طرفي المعادلة على -15.

$$y=15$$

عوّض عن y بالقيمة 15 في x=-\frac{3}{5}y+21. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{3}{5}\times 15+21$$

اضرب -\frac{3}{5} في 15.

$$x=-9+21$$

اجمع 21 مع -9.

$$x=12$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=12,y=15$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. ضرب طرفي المعادلة في 15، أقل مضاعف مشترك لـ 3,5.

$$5x+3y=105$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. ضرب طرفي المعادلة في 30، أقل مضاعف مشترك لـ 6,5.

$$5x-6\times 2y=-120$$

اضرب -6 في 2 لتحصل على -12.

$$5x-12y=-120$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$5x+3y=105,5x-12y=-120$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{12}{5\left(-12\right)-3\times 5}&-\frac{3}{5\left(-12\right)-3\times 5}\\-\frac{5}{5\left(-12\right)-3\times 5}&\frac{5}{5\left(-12\right)-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}&\frac{1}{25}\\\frac{1}{15}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}\times 105+\frac{1}{25}\left(-120\right)\\\frac{1}{15}\times 105-\frac{1}{15}\left(-120\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\15\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=12,y=15$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. ضرب طرفي المعادلة في 15، أقل مضاعف مشترك لـ 3,5.

$$5x+3y=105$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. ضرب طرفي المعادلة في 30، أقل مضاعف مشترك لـ 6,5.

$$5x-6\times 2y=-120$$

اضرب -6 في 2 لتحصل على -12.

$$5x-12y=-120$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$5x+3y=105,5x-12y=-120$$

اطرح 5x-12y=-120 من 5x+3y=105 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$5x-5x+3y+12y=105+120$$

اجمع 5x مع -5x. حذف الحدين 5x و-5x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$3y+12y=105+120$$

اجمع 3y مع 12y.

$$15y=105+120$$

اجمع 105 مع 120.

$$15y=225$$

قسمة طرفي المعادلة على 15.

$$y=15$$

عوّض عن y بالقيمة 15 في 5x-12y=-120. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$5x-12\times 15=-120$$

اضرب -12 في 15.

$$5x-180=-120$$

أضف 180 إلى طرفي المعادلة.

$$5x=60$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=12$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=12,y=15$$