حل {l}{x/3+y/2=8}{x/5+y/6=4}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 2 } = 8 } \\ { \frac { x } { 5 } + \frac { y } { 6 } = 4 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=15$$

$$y=6$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}y=8,\frac{1}{5}x+\frac{1}{6}y=4$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}y=8$$

اطرح \frac{y}{2} من طرفي المعادلة.

$$\frac{1}{3}x=-\frac{1}{2}y+8$$

ضرب طرفي المعادلة في 3.

$$x=3\left(-\frac{1}{2}y+8\right)$$

اضرب 3 في -\frac{y}{2}+8.

$$x=-\frac{3}{2}y+24$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{3y}{2}+24 في المعادلة الأخرى، \frac{1}{5}x+\frac{1}{6}y=4.

$$\frac{1}{5}\left(-\frac{3}{2}y+24\right)+\frac{1}{6}y=4$$

اضرب \frac{1}{5} في -\frac{3y}{2}+24.

$$-\frac{3}{10}y+\frac{24}{5}+\frac{1}{6}y=4$$

اجمع -\frac{3y}{10} مع \frac{y}{6}.

$$-\frac{2}{15}y+\frac{24}{5}=4$$

اطرح \frac{24}{5} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{2}{15}y=-\frac{4}{5}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{2}{15}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=6$$

عوّض عن y بالقيمة 6 في x=-\frac{3}{2}y+24. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{3}{2}\times 6+24$$

اضرب -\frac{3}{2} في 6.

$$x=-9+24$$

اجمع 24 مع -9.

$$x=15$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=15,y=6$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}y=8,\frac{1}{5}x+\frac{1}{6}y=4$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{5}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{5}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{5}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{5}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{5}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{5}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{5}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{3}\times \frac{1}{6}-\frac{1}{2}\times \frac{1}{5}}&-\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{3}\times \frac{1}{6}-\frac{1}{2}\times \frac{1}{5}}\\-\frac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{3}\times \frac{1}{6}-\frac{1}{2}\times \frac{1}{5}}&\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}\times \frac{1}{6}-\frac{1}{2}\times \frac{1}{5}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{4}&\frac{45}{4}\\\frac{9}{2}&-\frac{15}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{4}\times 8+\frac{45}{4}\times 4\\\frac{9}{2}\times 8-\frac{15}{2}\times 4\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\6\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=15,y=6$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}y=8,\frac{1}{5}x+\frac{1}{6}y=4$$

لجعل \frac{x}{3} و\frac{x}{5} متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في \frac{1}{5} وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في \frac{1}{3}.

$$\frac{1}{5}\times \frac{1}{3}x+\frac{1}{5}\times \frac{1}{2}y=\frac{1}{5}\times 8,\frac{1}{3}\times \frac{1}{5}x+\frac{1}{3}\times \frac{1}{6}y=\frac{1}{3}\times 4$$

تبسيط.

$$\frac{1}{15}x+\frac{1}{10}y=\frac{8}{5},\frac{1}{15}x+\frac{1}{18}y=\frac{4}{3}$$

اطرح \frac{1}{15}x+\frac{1}{18}y=\frac{4}{3} من \frac{1}{15}x+\frac{1}{10}y=\frac{8}{5} عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$\frac{1}{15}x-\frac{1}{15}x+\frac{1}{10}y-\frac{1}{18}y=\frac{8}{5}-\frac{4}{3}$$

اجمع \frac{x}{15} مع -\frac{x}{15}. حذف الحدين \frac{x}{15} و-\frac{x}{15}، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$\frac{1}{10}y-\frac{1}{18}y=\frac{8}{5}-\frac{4}{3}$$

اجمع \frac{y}{10} مع -\frac{y}{18}.

$$\frac{2}{45}y=\frac{8}{5}-\frac{4}{3}$$

اجمع \frac{8}{5} مع -\frac{4}{3} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$\frac{2}{45}y=\frac{4}{15}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{2}{45}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=6$$

عوّض عن y بالقيمة 6 في \frac{1}{5}x+\frac{1}{6}y=4. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$\frac{1}{5}x+\frac{1}{6}\times 6=4$$

اضرب \frac{1}{6} في 6.

$$\frac{1}{5}x+1=4$$

اطرح 1 من طرفي المعادلة.

$$\frac{1}{5}x=3$$

ضرب طرفي المعادلة في 5.

$$x=15$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=15,y=6$$