حل {l}{x/2+y/3=10}{x+y=30}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 2 } + \frac { y } { 3 } = 10 } \\ { x + y = 30 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=0$$

$$y=30$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=10,x+y=30$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=10$$

اطرح \frac{y}{3} من طرفي المعادلة.

$$\frac{1}{2}x=-\frac{1}{3}y+10$$

ضرب طرفي المعادلة في 2.

$$x=2\left(-\frac{1}{3}y+10\right)$$

اضرب 2 في -\frac{y}{3}+10.

$$x=-\frac{2}{3}y+20$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{2y}{3}+20 في المعادلة الأخرى، x+y=30.

$$-\frac{2}{3}y+20+y=30$$

اجمع -\frac{2y}{3} مع y.

$$\frac{1}{3}y+20=30$$

اطرح 20 من طرفي المعادلة.

$$\frac{1}{3}y=10$$

ضرب طرفي المعادلة في 3.

$$y=30$$

عوّض عن y بالقيمة 30 في x=-\frac{2}{3}y+20. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{2}{3}\times 30+20$$

اضرب -\frac{2}{3} في 30.

$$x=-20+20$$

اجمع 20 مع -20.

$$x=0$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=0,y=30$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=10,x+y=30$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

في المصفوفة 2\times 2 في هذا المثال \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة هي \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمسألة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}&-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}\\-\frac{1}{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}&\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6&-2\\-6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\times 10-2\times 30\\-6\times 10+3\times 30\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\30\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=0,y=30$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=10,x+y=30$$

لجعل \frac{x}{2} وx متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في \frac{1}{2}.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=10,\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y=\frac{1}{2}\times 30$$

تبسيط.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=10,\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y=15$$

اطرح \frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y=15 من \frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=10 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y-\frac{1}{2}y=10-15$$

اجمع \frac{x}{2} مع -\frac{x}{2}. حذف الحدين \frac{x}{2} و-\frac{x}{2}، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$\frac{1}{3}y-\frac{1}{2}y=10-15$$

اجمع \frac{y}{3} مع -\frac{y}{2}.

$$-\frac{1}{6}y=10-15$$

اجمع 10 مع -15.

$$-\frac{1}{6}y=-5$$

ضرب طرفي المعادلة في -6.

$$y=30$$

عوّض عن y بالقيمة 30 في x+y=30. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x+30=30$$

اطرح 30 من طرفي المعادلة.

$$x=0$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=0,y=30$$