حل {l}{x/2+y/3=1}{x+y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 2 } + \frac { y } { 3 } = 1 } \\ { x + y = 1 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=4$$

$$y=-3$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=1,x+y=1$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=1$$

اطرح \frac{y}{3} من طرفي المعادلة.

$$\frac{1}{2}x=-\frac{1}{3}y+1$$

ضرب طرفي المعادلة في 2.

$$x=2\left(-\frac{1}{3}y+1\right)$$

اضرب 2 في -\frac{y}{3}+1.

$$x=-\frac{2}{3}y+2$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{2y}{3}+2 في المعادلة الأخرى، x+y=1.

$$-\frac{2}{3}y+2+y=1$$

اجمع -\frac{2y}{3} مع y.

$$\frac{1}{3}y+2=1$$

اطرح 2 من طرفي المعادلة.

$$\frac{1}{3}y=-1$$

ضرب طرفي المعادلة في 3.

$$y=-3$$

عوّض عن y بالقيمة -3 في x=-\frac{2}{3}y+2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{2}{3}\left(-3\right)+2$$

اضرب -\frac{2}{3} في -3.

$$x=2+2$$

اجمع 2 مع 2.

$$x=4$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=4,y=-3$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=1,x+y=1$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}&-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}\\-\frac{1}{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}&\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6&-2\\-6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6-2\\-6+3\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=4,y=-3$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=1,x+y=1$$

لجعل \frac{x}{2} وx متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في \frac{1}{2}.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=1,\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y=\frac{1}{2}$$

اطرح \frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y=\frac{1}{2} من \frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=1 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y-\frac{1}{2}y=1-\frac{1}{2}$$

اجمع \frac{x}{2} مع -\frac{x}{2}. حذف الحدين \frac{x}{2} و-\frac{x}{2}، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$\frac{1}{3}y-\frac{1}{2}y=1-\frac{1}{2}$$

اجمع \frac{y}{3} مع -\frac{y}{2}.

$$-\frac{1}{6}y=1-\frac{1}{2}$$

اجمع 1 مع -\frac{1}{2}.

$$-\frac{1}{6}y=\frac{1}{2}$$

ضرب طرفي المعادلة في -6.

$$y=-3$$

عوّض عن y بالقيمة -3 في x+y=1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x-3=1$$

أضف 3 إلى طرفي المعادلة.

$$x=4$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=4,y=-3$$