حل {l}{x^2/a+y^2/b=1}{y=2x+6}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x ^ { 2 } } { a } + \frac { y ^ { 2 } } { b } = 1 } \\ { y = 2 x + 6 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}+12a}{4a+b}\text{, }y=\frac{2\left(-\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}+3b\right)}{4a+b}\text{; }x=\frac{\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}-12a}{4a+b}\text{, }y=\frac{2\left(\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}+3b\right)}{4a+b}\text{, }&\left(a\geq -\frac{b}{4}+9\text{ and }a>0\text{ and }b>0\right)\text{ or }\left(a=-\frac{b}{4}+9\text{ and }b\neq 0\text{ and }b<36\right)\text{ or }\left(a\neq -\frac{b}{4}\text{ and }a\leq -\frac{b}{4}+9\text{ and }b<0\text{ and }a>0\right)\text{ or }\left(a=-\frac{b}{4}+9\text{ and }b>0\text{ and }b\neq 36\right)\text{ or }\left(a\neq -\frac{b}{4}\text{ and }a\leq -\frac{b}{4}+9\text{ and }a<0\text{ and }b>0\right)\\x=\frac{b-36}{24}\text{, }y=\frac{b+36}{12}\text{, }&a=-\frac{b}{4}\text{ and }b\neq 0\end{matrix}\right.$$

خطوات استخدام التعويض والصيغة التربيعية

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. ضرب طرفي المعادلة في ab، أقل مضاعف مشترك لـ a,b.

$$bx^{2}+ay^{2}=ab$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 2x من الطرفين.

$$y-2x=6$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$y-2x=6,bx^{2}+ay^{2}=ab$$

أوجد قيمة y-2x=6 لـ y بعزل y على يسار علامة التساوي.

$$y-2x=6$$

اطرح -2x من طرفي المعادلة.

$$y=2x+6$$

عوّض عن y بالقيمة 2x+6 في المعادلة الأخرى، bx^{2}+ay^{2}=ab.

$$bx^{2}+a\left(2x+6\right)^{2}=ab$$

مربع 2x+6.

$$bx^{2}+a\left(4x^{2}+24x+36\right)=ab$$

اضرب a في 4x^{2}+24x+36.

$$bx^{2}+4ax^{2}+24ax+36a=ab$$

اجمع bx^{2} مع 4ax^{2}.

$$\left(4a+b\right)x^{2}+24ax+36a=ab$$

اطرح ab من طرفي المعادلة.

$$\left(4a+b\right)x^{2}+24ax+36a-ab=0$$

هذه المعادلة بالصيغة العامة: ax^{2}+bx+c=0. عوّض عن a بالقيمة b+a\times 2^{2} وعن b بالقيمة a\times 6\times 2\times 2 وعن c بالقيمة a\left(36-b\right) في الصيغة التربيعية، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-24a±\sqrt{\left(24a\right)^{2}-4\left(4a+b\right)a\left(36-b\right)}}{2\left(4a+b\right)}$$

مربع a\times 6\times 2\times 2.

$$x=\frac{-24a±\sqrt{576a^{2}-4\left(4a+b\right)a\left(36-b\right)}}{2\left(4a+b\right)}$$

اضرب -4 في b+a\times 2^{2}.

$$x=\frac{-24a±\sqrt{576a^{2}+\left(-16a-4b\right)a\left(36-b\right)}}{2\left(4a+b\right)}$$

اضرب -4b-16a في a\left(36-b\right).

$$x=\frac{-24a±\sqrt{576a^{2}-4a\left(36-b\right)\left(4a+b\right)}}{2\left(4a+b\right)}$$

اجمع 576a^{2} مع -4\left(b+4a\right)a\left(36-b\right).

$$x=\frac{-24a±\sqrt{4ab\left(4a+b-36\right)}}{2\left(4a+b\right)}$$

استخدم الجذر التربيعي للعدد 4ab\left(-36+4a+b\right).

$$x=\frac{-24a±2\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}}{2\left(4a+b\right)}$$

اضرب 2 في b+a\times 2^{2}.

$$x=\frac{-24a±2\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}}{8a+2b}$$

حل المعادلة x=\frac{-24a±2\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}}{8a+2b} الآن عندما يكون ± موجباً. اجمع -24a مع 2\sqrt{ab\left(-36+4a+b\right)}.

$$x=\frac{2\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}-24a}{8a+2b}$$

اقسم -24a+2\sqrt{ab\left(-36+4a+b\right)} على 2b+8a.

$$x=\frac{\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}-12a}{4a+b}$$

حل المعادلة x=\frac{-24a±2\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}}{8a+2b} الآن عندما يكون ± سالباً. اطرح 2\sqrt{ab\left(-36+4a+b\right)} من -24a.

$$x=\frac{-2\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}-24a}{8a+2b}$$

اقسم -24a-2\sqrt{ab\left(-36+4a+b\right)} على 2b+8a.

$$x=-\frac{\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}+12a}{4a+b}$$

هناك حلان لـ x: \frac{-12a+\sqrt{ab\left(-36+4a+b\right)}}{b+4a} و-\frac{12a+\sqrt{ab\left(-36+4a+b\right)}}{b+4a}. عوّض عن x بالقيمة \frac{-12a+\sqrt{ab\left(-36+4a+b\right)}}{b+4a} في المعادلة y=2x+6 لإيجاد الحل المقابل لـ y الذي يحقق المعادلتين.

$$y=2\times \frac{\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}-12a}{4a+b}+6$$

الآن عوض عن x بالقيمة -\frac{12a+\sqrt{ab\left(-36+4a+b\right)}}{b+4a} في المعادلة y=2x+6 وحل المعادلة لإيجاد الحل المقابل لـ y الذي يحقق المعادلتين.

$$y=2\left(-\frac{\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}+12a}{4a+b}\right)+6$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=2\times \frac{\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}-12a}{4a+b}+6,x=\frac{\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}-12a}{4a+b}\text{ or }y=2\left(-\frac{\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}+12a}{4a+b}\right)+6,x=-\frac{\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}+12a}{4a+b}$$

حل مسائل x، y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}+12a}{4a+b}\text{, }y=\frac{2\left(-\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}+3b\right)}{4a+b}\text{; }x=\frac{\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}-12a}{4a+b}\text{, }y=\frac{2\left(\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}+3b\right)}{4a+b}\text{, }&a\neq -\frac{b}{4}\text{ and }a\neq 0\text{ and }b\neq 0\\x=\frac{b-36}{24}\text{, }y=\frac{b+36}{12}\text{, }&a=-\frac{b}{4}\text{ and }b\neq 0\end{matrix}\right.$$