حل {l}{x^2/9+y^2/4=1}{3x+4y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x ^ { 2 } } { 9 } + \frac { y ^ { 2 } } { 4 } = 1 } \\ { 3 x + 4 y = 1 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=\frac{63}{29}\approx 2.172413793\text{, }y=-\frac{40}{29}\approx -1.379310345$$

$$x=-\frac{9}{5}=-1.8\text{, }y=\frac{8}{5}=1.6$$

خطوات استخدام التعويض والصيغة التربيعية

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. ضرب طرفي المعادلة في 36، أقل مضاعف مشترك لـ 9,4.

$$4x^{2}+9y^{2}=36$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3x+4y=1,9y^{2}+4x^{2}=36$$

أوجد قيمة 3x+4y=1 لـ x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$3x+4y=1$$

اطرح 4y من طرفي المعادلة.

$$3x=-4y+1$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{4}{3}y+\frac{1}{3} في المعادلة الأخرى، 9y^{2}+4x^{2}=36.

$$9y^{2}+4\left(-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}\right)^{2}=36$$

مربع -\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}.

$$9y^{2}+4\left(\frac{16}{9}y^{2}-\frac{8}{9}y+\frac{1}{9}\right)=36$$

اضرب 4 في \frac{16}{9}y^{2}-\frac{8}{9}y+\frac{1}{9}.

$$9y^{2}+\frac{64}{9}y^{2}-\frac{32}{9}y+\frac{4}{9}=36$$

اجمع 9y^{2} مع \frac{64}{9}y^{2}.

$$\frac{145}{9}y^{2}-\frac{32}{9}y+\frac{4}{9}=36$$

اطرح 36 من طرفي المعادلة.

$$\frac{145}{9}y^{2}-\frac{32}{9}y-\frac{320}{9}=0$$

هذه المعادلة بالصيغة العامة: ax^{2}+bx+c=0. عوّض عن a بالقيمة 9+4\left(-\frac{4}{3}\right)^{2} وعن b بالقيمة 4\times \frac{1}{3}\left(-\frac{4}{3}\right)\times 2 وعن c بالقيمة -\frac{320}{9} في الصيغة التربيعية، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{\left(-\frac{32}{9}\right)^{2}-4\times \frac{145}{9}\left(-\frac{320}{9}\right)}}{2\times \frac{145}{9}}$$

مربع 4\times \frac{1}{3}\left(-\frac{4}{3}\right)\times 2.

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{\frac{1024}{81}-4\times \frac{145}{9}\left(-\frac{320}{9}\right)}}{2\times \frac{145}{9}}$$

اضرب -4 في 9+4\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}.

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{\frac{1024}{81}-\frac{580}{9}\left(-\frac{320}{9}\right)}}{2\times \frac{145}{9}}$$

اضرب -\frac{580}{9} في -\frac{320}{9} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{\frac{1024+185600}{81}}}{2\times \frac{145}{9}}$$

اجمع \frac{1024}{81} مع \frac{185600}{81} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{2304}}{2\times \frac{145}{9}}$$

استخدم الجذر التربيعي للعدد 2304.

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±48}{2\times \frac{145}{9}}$$

مقابل 4\times \frac{1}{3}\left(-\frac{4}{3}\right)\times 2 هو \frac{32}{9}.

$$y=\frac{\frac{32}{9}±48}{2\times \frac{145}{9}}$$

اضرب 2 في 9+4\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}.

$$y=\frac{\frac{32}{9}±48}{\frac{290}{9}}$$

حل المعادلة y=\frac{\frac{32}{9}±48}{\frac{290}{9}} الآن عندما يكون ± موجباً. اجمع \frac{32}{9} مع 48.

$$y=\frac{\frac{464}{9}}{\frac{290}{9}}$$

اقسم \frac{464}{9} على \frac{290}{9} من خلال ضرب \frac{464}{9} في مقلوب \frac{290}{9}.

$$y=\frac{8}{5}$$

حل المعادلة y=\frac{\frac{32}{9}±48}{\frac{290}{9}} الآن عندما يكون ± سالباً. اطرح 48 من \frac{32}{9}.

$$y=-\frac{\frac{400}{9}}{\frac{290}{9}}$$

اقسم -\frac{400}{9} على \frac{290}{9} من خلال ضرب -\frac{400}{9} في مقلوب \frac{290}{9}.

$$y=-\frac{40}{29}$$

هناك حلان لـ y: \frac{8}{5} و-\frac{40}{29}. عوّض عن y بالقيمة \frac{8}{5} في المعادلة x=-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3} لإيجاد الحل المقابل لـ x الذي يحقق المعادلتين.

$$x=-\frac{4}{3}\times \frac{8}{5}+\frac{1}{3}$$

اضرب -\frac{4}{3} في \frac{8}{5} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{32}{15}+\frac{1}{3}$$

اجمع -\frac{4}{3}\times \frac{8}{5} مع \frac{1}{3}.

$$x=-\frac{9}{5}$$

الآن عوض عن y بالقيمة -\frac{40}{29} في المعادلة x=-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3} وحل المعادلة لإيجاد الحل المقابل لـ x الذي يحقق المعادلتين.

$$x=-\frac{4}{3}\left(-\frac{40}{29}\right)+\frac{1}{3}$$

اضرب -\frac{4}{3} في -\frac{40}{29} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{160}{87}+\frac{1}{3}$$

اجمع -\frac{40}{29}\left(-\frac{4}{3}\right) مع \frac{1}{3}.

$$x=\frac{63}{29}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{9}{5},y=\frac{8}{5}\text{ or }x=\frac{63}{29},y=-\frac{40}{29}$$