حل {l}{x+2/2+y-5/5=x/4+1}{x+y=x-1/3+3}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x + 2 } { 2 } + \frac { y - 5 } { 5 } = \frac { x } { 4 } + 1 } \\ { x + y = \frac { x - 1 } { 3 } + 3 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=4$$

$$y=0$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. ضرب طرفي المعادلة في 20، أقل مضاعف مشترك لـ 2,5,4.

$$10\left(x+2\right)+4\left(y-5\right)=5x+20$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 10 في x+2.

$$10x+20+4\left(y-5\right)=5x+20$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 4 في y-5.

$$10x+20+4y-20=5x+20$$

اطرح 20 من 20 لتحصل على 0.

$$10x+4y=5x+20$$

اطرح 5x من الطرفين.

$$10x+4y-5x=20$$

اجمع 10x مع -5x لتحصل على 5x.

$$5x+4y=20$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اضرب طرفي المعادلة في 3.

$$3x+3y=x-1+9$$

اجمع -1 مع 9 لتحصل على 8.

$$3x+3y=x+8$$

اطرح x من الطرفين.

$$3x+3y-x=8$$

اجمع 3x مع -x لتحصل على 2x.

$$2x+3y=8$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$5x+4y=20,2x+3y=8$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$5x+4y=20$$

اطرح 4y من طرفي المعادلة.

$$5x=-4y+20$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-4y+20\right)$$

اضرب \frac{1}{5} في -4y+20.

$$x=-\frac{4}{5}y+4$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{4y}{5}+4 في المعادلة الأخرى، 2x+3y=8.

$$2\left(-\frac{4}{5}y+4\right)+3y=8$$

اضرب 2 في -\frac{4y}{5}+4.

$$-\frac{8}{5}y+8+3y=8$$

اجمع -\frac{8y}{5} مع 3y.

$$\frac{7}{5}y+8=8$$

اطرح 8 من طرفي المعادلة.

$$\frac{7}{5}y=0$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{7}{5}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=0$$

عوّض عن y بالقيمة 0 في x=-\frac{4}{5}y+4. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=4$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=4,y=0$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. ضرب طرفي المعادلة في 20، أقل مضاعف مشترك لـ 2,5,4.

$$10\left(x+2\right)+4\left(y-5\right)=5x+20$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 10 في x+2.

$$10x+20+4\left(y-5\right)=5x+20$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 4 في y-5.

$$10x+20+4y-20=5x+20$$

اطرح 20 من 20 لتحصل على 0.

$$10x+4y=5x+20$$

اطرح 5x من الطرفين.

$$10x+4y-5x=20$$

اجمع 10x مع -5x لتحصل على 5x.

$$5x+4y=20$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اضرب طرفي المعادلة في 3.

$$3x+3y=x-1+9$$

اجمع -1 مع 9 لتحصل على 8.

$$3x+3y=x+8$$

اطرح x من الطرفين.

$$3x+3y-x=8$$

اجمع 3x مع -x لتحصل على 2x.

$$2x+3y=8$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$5x+4y=20,2x+3y=8$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-4\times 2}&-\frac{4}{5\times 3-4\times 2}\\-\frac{2}{5\times 3-4\times 2}&\frac{5}{5\times 3-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&-\frac{4}{7}\\-\frac{2}{7}&\frac{5}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 20-\frac{4}{7}\times 8\\-\frac{2}{7}\times 20+\frac{5}{7}\times 8\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\0\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=4,y=0$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. ضرب طرفي المعادلة في 20، أقل مضاعف مشترك لـ 2,5,4.

$$10\left(x+2\right)+4\left(y-5\right)=5x+20$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 10 في x+2.

$$10x+20+4\left(y-5\right)=5x+20$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 4 في y-5.

$$10x+20+4y-20=5x+20$$

اطرح 20 من 20 لتحصل على 0.

$$10x+4y=5x+20$$

اطرح 5x من الطرفين.

$$10x+4y-5x=20$$

اجمع 10x مع -5x لتحصل على 5x.

$$5x+4y=20$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اضرب طرفي المعادلة في 3.

$$3x+3y=x-1+9$$

اجمع -1 مع 9 لتحصل على 8.

$$3x+3y=x+8$$

اطرح x من الطرفين.

$$3x+3y-x=8$$

اجمع 3x مع -x لتحصل على 2x.

$$2x+3y=8$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$5x+4y=20,2x+3y=8$$

لجعل 5x و2x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 5.

$$2\times 5x+2\times 4y=2\times 20,5\times 2x+5\times 3y=5\times 8$$

تبسيط.

$$10x+8y=40,10x+15y=40$$

اطرح 10x+15y=40 من 10x+8y=40 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$10x-10x+8y-15y=40-40$$

اجمع 10x مع -10x. حذف الحدين 10x و-10x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$8y-15y=40-40$$

اجمع 8y مع -15y.

$$-7y=40-40$$

اجمع 40 مع -40.

$$-7y=0$$

قسمة طرفي المعادلة على -7.

$$y=0$$

عوّض عن y بالقيمة 0 في 2x+3y=8. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$2x=8$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=4$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=4,y=0$$