حل {l}{x+1/y+2=2/3}{x-2/y-1=1/3}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x + 1 } { y + 2 } = \frac { 2 } { 3 } } \\ { \frac { x - 2 } { y - 1 } = \frac { 1 } { 3 } } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=3$$

$$y=4$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. لا يمكن أن يكون المتغير y مساوياً لـ -2 لأن القسمة على صفر غير محددة. ضرب طرفي المعادلة في 3\left(y+2\right)، أقل مضاعف مشترك لـ y+2,3.

$$3\left(x+1\right)=2\left(y+2\right)$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 3 في x+1.

$$3x+3=2\left(y+2\right)$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 2 في y+2.

$$3x+3=2y+4$$

اطرح 2y من الطرفين.

$$3x+3-2y=4$$

اطرح 3 من الطرفين.

$$3x-2y=4-3$$

اطرح 3 من 4 لتحصل على 1.

$$3x-2y=1$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. لا يمكن أن يكون المتغير y مساوياً لـ 1 لأن القسمة على صفر غير محددة. ضرب طرفي المعادلة في 3\left(y-1\right)، أقل مضاعف مشترك لـ y-1,3.

$$3\left(x-2\right)=y-1$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 3 في x-2.

$$3x-6=y-1$$

اطرح y من الطرفين.

$$3x-6-y=-1$$

إضافة 6 لكلا الجانبين.

$$3x-y=-1+6$$

اجمع -1 مع 6 لتحصل على 5.

$$3x-y=5$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3x-2y=1,3x-y=5$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$3x-2y=1$$

أضف 2y إلى طرفي المعادلة.

$$3x=2y+1$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+1\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في 2y+1.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{2y+1}{3} في المعادلة الأخرى، 3x-y=5.

$$3\left(\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}\right)-y=5$$

اضرب 3 في \frac{2y+1}{3}.

$$2y+1-y=5$$

اجمع 2y مع -y.

$$y+1=5$$

اطرح 1 من طرفي المعادلة.

$$y=4$$

عوّض عن y بالقيمة 4 في x=\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{2}{3}\times 4+\frac{1}{3}$$

اضرب \frac{2}{3} في 4.

$$x=\frac{8+1}{3}$$

اجمع \frac{1}{3} مع \frac{8}{3} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=3,y=4$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. لا يمكن أن يكون المتغير y مساوياً لـ -2 لأن القسمة على صفر غير محددة. ضرب طرفي المعادلة في 3\left(y+2\right)، أقل مضاعف مشترك لـ y+2,3.

$$3\left(x+1\right)=2\left(y+2\right)$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 3 في x+1.

$$3x+3=2\left(y+2\right)$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 2 في y+2.

$$3x+3=2y+4$$

اطرح 2y من الطرفين.

$$3x+3-2y=4$$

اطرح 3 من الطرفين.

$$3x-2y=4-3$$

اطرح 3 من 4 لتحصل على 1.

$$3x-2y=1$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. لا يمكن أن يكون المتغير y مساوياً لـ 1 لأن القسمة على صفر غير محددة. ضرب طرفي المعادلة في 3\left(y-1\right)، أقل مضاعف مشترك لـ y-1,3.

$$3\left(x-2\right)=y-1$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 3 في x-2.

$$3x-6=y-1$$

اطرح y من الطرفين.

$$3x-6-y=-1$$

إضافة 6 لكلا الجانبين.

$$3x-y=-1+6$$

اجمع -1 مع 6 لتحصل على 5.

$$3x-y=5$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3x-2y=1,3x-y=5$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{3\left(-1\right)-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-2\times 3\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\times 5\\-1+5\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=3,y=4$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. لا يمكن أن يكون المتغير y مساوياً لـ -2 لأن القسمة على صفر غير محددة. ضرب طرفي المعادلة في 3\left(y+2\right)، أقل مضاعف مشترك لـ y+2,3.

$$3\left(x+1\right)=2\left(y+2\right)$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 3 في x+1.

$$3x+3=2\left(y+2\right)$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 2 في y+2.

$$3x+3=2y+4$$

اطرح 2y من الطرفين.

$$3x+3-2y=4$$

اطرح 3 من الطرفين.

$$3x-2y=4-3$$

اطرح 3 من 4 لتحصل على 1.

$$3x-2y=1$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. لا يمكن أن يكون المتغير y مساوياً لـ 1 لأن القسمة على صفر غير محددة. ضرب طرفي المعادلة في 3\left(y-1\right)، أقل مضاعف مشترك لـ y-1,3.

$$3\left(x-2\right)=y-1$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 3 في x-2.

$$3x-6=y-1$$

اطرح y من الطرفين.

$$3x-6-y=-1$$

إضافة 6 لكلا الجانبين.

$$3x-y=-1+6$$

اجمع -1 مع 6 لتحصل على 5.

$$3x-y=5$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3x-2y=1,3x-y=5$$

اطرح 3x-y=5 من 3x-2y=1 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$3x-3x-2y+y=1-5$$

اجمع 3x مع -3x. حذف الحدين 3x و-3x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-2y+y=1-5$$

اجمع -2y مع y.

$$-y=1-5$$

اجمع 1 مع -5.

$$-y=-4$$

قسمة طرفي المعادلة على -1.

$$y=4$$

عوّض عن y بالقيمة 4 في 3x-y=5. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$3x-4=5$$

أضف 4 إلى طرفي المعادلة.

$$3x=9$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=3,y=4$$