حل {l}{9x+4y/3-5x-11/2=13-y}{13x-7y=-8}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 9 x + 4 y } { 3 } - \frac { 5 x - 11 } { 2 } = 13 - y } \\ { 13 x - 7 y = - 8 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=1$$

$$y=3$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. ضرب طرفي المعادلة في 6، أقل مضاعف مشترك لـ 3,2.

$$2\left(9x+4y\right)-3\left(5x-11\right)=78-6y$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 2 في 9x+4y.

$$18x+8y-3\left(5x-11\right)=78-6y$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب -3 في 5x-11.

$$18x+8y-15x+33=78-6y$$

اجمع 18x مع -15x لتحصل على 3x.

$$3x+8y+33=78-6y$$

إضافة 6y لكلا الجانبين.

$$3x+8y+33+6y=78$$

اجمع 8y مع 6y لتحصل على 14y.

$$3x+14y+33=78$$

اطرح 33 من الطرفين.

$$3x+14y=78-33$$

اطرح 33 من 78 لتحصل على 45.

$$3x+14y=45$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3x+14y=45,13x-7y=-8$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$3x+14y=45$$

اطرح 14y من طرفي المعادلة.

$$3x=-14y+45$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-14y+45\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في -14y+45.

$$x=-\frac{14}{3}y+15$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{14y}{3}+15 في المعادلة الأخرى، 13x-7y=-8.

$$13\left(-\frac{14}{3}y+15\right)-7y=-8$$

اضرب 13 في -\frac{14y}{3}+15.

$$-\frac{182}{3}y+195-7y=-8$$

اجمع -\frac{182y}{3} مع -7y.

$$-\frac{203}{3}y+195=-8$$

اطرح 195 من طرفي المعادلة.

$$-\frac{203}{3}y=-203$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{203}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=3$$

عوّض عن y بالقيمة 3 في x=-\frac{14}{3}y+15. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{14}{3}\times 3+15$$

اضرب -\frac{14}{3} في 3.

$$x=-14+15$$

اجمع 15 مع -14.

$$x=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=1,y=3$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. ضرب طرفي المعادلة في 6، أقل مضاعف مشترك لـ 3,2.

$$2\left(9x+4y\right)-3\left(5x-11\right)=78-6y$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 2 في 9x+4y.

$$18x+8y-3\left(5x-11\right)=78-6y$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب -3 في 5x-11.

$$18x+8y-15x+33=78-6y$$

اجمع 18x مع -15x لتحصل على 3x.

$$3x+8y+33=78-6y$$

إضافة 6y لكلا الجانبين.

$$3x+8y+33+6y=78$$

اجمع 8y مع 6y لتحصل على 14y.

$$3x+14y+33=78$$

اطرح 33 من الطرفين.

$$3x+14y=78-33$$

اطرح 33 من 78 لتحصل على 45.

$$3x+14y=45$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3x+14y=45,13x-7y=-8$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\-8\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\-8\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\-8\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\-8\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{3\left(-7\right)-14\times 13}&-\frac{14}{3\left(-7\right)-14\times 13}\\-\frac{13}{3\left(-7\right)-14\times 13}&\frac{3}{3\left(-7\right)-14\times 13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\-8\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{29}&\frac{2}{29}\\\frac{13}{203}&-\frac{3}{203}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\-8\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{29}\times 45+\frac{2}{29}\left(-8\right)\\\frac{13}{203}\times 45-\frac{3}{203}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=1,y=3$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. ضرب طرفي المعادلة في 6، أقل مضاعف مشترك لـ 3,2.

$$2\left(9x+4y\right)-3\left(5x-11\right)=78-6y$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 2 في 9x+4y.

$$18x+8y-3\left(5x-11\right)=78-6y$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب -3 في 5x-11.

$$18x+8y-15x+33=78-6y$$

اجمع 18x مع -15x لتحصل على 3x.

$$3x+8y+33=78-6y$$

إضافة 6y لكلا الجانبين.

$$3x+8y+33+6y=78$$

اجمع 8y مع 6y لتحصل على 14y.

$$3x+14y+33=78$$

اطرح 33 من الطرفين.

$$3x+14y=78-33$$

اطرح 33 من 78 لتحصل على 45.

$$3x+14y=45$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3x+14y=45,13x-7y=-8$$

لجعل 3x و13x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 13 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.

$$13\times 3x+13\times 14y=13\times 45,3\times 13x+3\left(-7\right)y=3\left(-8\right)$$

تبسيط.

$$39x+182y=585,39x-21y=-24$$

اطرح 39x-21y=-24 من 39x+182y=585 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$39x-39x+182y+21y=585+24$$

اجمع 39x مع -39x. حذف الحدين 39x و-39x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$182y+21y=585+24$$

اجمع 182y مع 21y.

$$203y=585+24$$

اجمع 585 مع 24.

$$203y=609$$

قسمة طرفي المعادلة على 203.

$$y=3$$

عوّض عن y بالقيمة 3 في 13x-7y=-8. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$13x-7\times 3=-8$$

اضرب -7 في 3.

$$13x-21=-8$$

أضف 21 إلى طرفي المعادلة.

$$13x=13$$

قسمة طرفي المعادلة على 13.

$$x=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=1,y=3$$