حل {l}{108/100x+110y/100=1008}{110/100x+108/100y=1028}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 108 } { 100 } x + \frac { 110 y } { 100 } = 1008 } \\ { \frac { 110 } { 100 } x + \frac { 108 } { 100 } y = 1028 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{105400}{109} = 966\frac{106}{109} \approx 966.972477064$$

$$y = -\frac{3600}{109} = -33\frac{3}{109} \approx -33.027522936$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اضرب طرفي المعادلة في 100.

$$108x+110y=100800$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اختزل الكسر \frac{110}{100} إلى أبسط قيمة من خلال استخراج 10 وشطبه.

$$\frac{11}{10}x+\frac{108}{100}y=1028$$

اختزل الكسر \frac{108}{100} إلى أبسط قيمة من خلال استخراج 4 وشطبه.

$$\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$108x+110y=100800,\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$108x+110y=100800$$

اطرح 110y من طرفي المعادلة.

$$108x=-110y+100800$$

قسمة طرفي المعادلة على 108.

$$x=\frac{1}{108}\left(-110y+100800\right)$$

اضرب \frac{1}{108} في -110y+100800.

$$x=-\frac{55}{54}y+\frac{2800}{3}$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{55y}{54}+\frac{2800}{3} في المعادلة الأخرى، \frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028.

$$\frac{11}{10}\left(-\frac{55}{54}y+\frac{2800}{3}\right)+\frac{27}{25}y=1028$$

اضرب \frac{11}{10} في -\frac{55y}{54}+\frac{2800}{3}.

$$-\frac{121}{108}y+\frac{3080}{3}+\frac{27}{25}y=1028$$

اجمع -\frac{121y}{108} مع \frac{27y}{25}.

$$-\frac{109}{2700}y+\frac{3080}{3}=1028$$

اطرح \frac{3080}{3} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{109}{2700}y=\frac{4}{3}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{109}{2700}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-\frac{3600}{109}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{3600}{109} في x=-\frac{55}{54}y+\frac{2800}{3}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{55}{54}\left(-\frac{3600}{109}\right)+\frac{2800}{3}$$

اضرب -\frac{55}{54} في -\frac{3600}{109} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{11000}{327}+\frac{2800}{3}$$

اجمع \frac{2800}{3} مع \frac{11000}{327} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{105400}{109}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{105400}{109},y=-\frac{3600}{109}$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اضرب طرفي المعادلة في 100.

$$108x+110y=100800$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اختزل الكسر \frac{110}{100} إلى أبسط قيمة من خلال استخراج 10 وشطبه.

$$\frac{11}{10}x+\frac{108}{100}y=1028$$

اختزل الكسر \frac{108}{100} إلى أبسط قيمة من خلال استخراج 4 وشطبه.

$$\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$108x+110y=100800,\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{27}{25}}{108\times \frac{27}{25}-110\times \frac{11}{10}}&-\frac{110}{108\times \frac{27}{25}-110\times \frac{11}{10}}\\-\frac{\frac{11}{10}}{108\times \frac{27}{25}-110\times \frac{11}{10}}&\frac{108}{108\times \frac{27}{25}-110\times \frac{11}{10}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{27}{109}&\frac{2750}{109}\\\frac{55}{218}&-\frac{2700}{109}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{27}{109}\times 100800+\frac{2750}{109}\times 1028\\\frac{55}{218}\times 100800-\frac{2700}{109}\times 1028\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{105400}{109}\\-\frac{3600}{109}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{105400}{109},y=-\frac{3600}{109}$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اضرب طرفي المعادلة في 100.

$$108x+110y=100800$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اختزل الكسر \frac{110}{100} إلى أبسط قيمة من خلال استخراج 10 وشطبه.

$$\frac{11}{10}x+\frac{108}{100}y=1028$$

اختزل الكسر \frac{108}{100} إلى أبسط قيمة من خلال استخراج 4 وشطبه.

$$\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$108x+110y=100800,\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

لجعل 108x و\frac{11x}{10} متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في \frac{11}{10} وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 108.

$$\frac{11}{10}\times 108x+\frac{11}{10}\times 110y=\frac{11}{10}\times 100800,108\times \frac{11}{10}x+108\times \frac{27}{25}y=108\times 1028$$

تبسيط.

$$\frac{594}{5}x+121y=110880,\frac{594}{5}x+\frac{2916}{25}y=111024$$

اطرح \frac{594}{5}x+\frac{2916}{25}y=111024 من \frac{594}{5}x+121y=110880 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$\frac{594}{5}x-\frac{594}{5}x+121y-\frac{2916}{25}y=110880-111024$$

اجمع \frac{594x}{5} مع -\frac{594x}{5}. حذف الحدين \frac{594x}{5} و-\frac{594x}{5}، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$121y-\frac{2916}{25}y=110880-111024$$

اجمع 121y مع -\frac{2916y}{25}.

$$\frac{109}{25}y=110880-111024$$

اجمع 110880 مع -111024.

$$\frac{109}{25}y=-144$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{109}{25}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-\frac{3600}{109}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{3600}{109} في \frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}\left(-\frac{3600}{109}\right)=1028$$

اضرب \frac{27}{25} في -\frac{3600}{109} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$\frac{11}{10}x-\frac{3888}{109}=1028$$

أضف \frac{3888}{109} إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{11}{10}x=\frac{115940}{109}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{11}{10}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$x=\frac{105400}{109}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{105400}{109},y=-\frac{3600}{109}$$