حل {l}{1/5y-x=1/2text{op}}{1/3x-1/2y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 5 } y - x = \frac { 1 } { 2 } \text { op } } \\ { \frac { 1 } { 3 } x - \frac { 1 } { 2 } y = 10 } \end{array} \right.$$

حل مسائل y، x

$$x = \frac{45}{2} = 22\frac{1}{2} = 22.5$$

$$y=115$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$\frac{1}{5}y-x=\frac{1}{2},-\frac{1}{2}y+3x=10$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة y بعزل y على يسار علامة التساوي.

$$\frac{1}{5}y-x=\frac{1}{2}$$

أضف x إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{1}{5}y=x+\frac{1}{2}$$

ضرب طرفي المعادلة في 5.

$$y=5\left(x+\frac{1}{2}\right)$$

اضرب 5 في x+\frac{1}{2}.

$$y=5x+\frac{5}{2}$$

عوّض عن y بالقيمة 5x+\frac{5}{2} في المعادلة الأخرى، -\frac{1}{2}y+3x=10.

$$-\frac{1}{2}\left(5x+\frac{5}{2}\right)+3x=10$$

اضرب -\frac{1}{2} في 5x+\frac{5}{2}.

$$-\frac{5}{2}x-\frac{5}{4}+3x=10$$

اجمع -\frac{5x}{2} مع 3x.

$$\frac{1}{2}x-\frac{5}{4}=10$$

أضف \frac{5}{4} إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{1}{2}x=\frac{45}{4}$$

ضرب طرفي المعادلة في 2.

$$x=\frac{45}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{45}{2} في y=5x+\frac{5}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y=5\times \frac{45}{2}+\frac{5}{2}$$

اضرب 5 في \frac{45}{2}.

$$y=\frac{225+5}{2}$$

اجمع \frac{5}{2} مع \frac{225}{2} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$y=115$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=115,x=\frac{45}{2}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$\frac{1}{5}y-x=\frac{1}{2},-\frac{1}{2}y+3x=10$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{\frac{1}{5}\times 3-\left(-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}&-\frac{-1}{\frac{1}{5}\times 3-\left(-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}\\-\frac{-\frac{1}{2}}{\frac{1}{5}\times 3-\left(-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}&\frac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{5}\times 3-\left(-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30&10\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30\times \frac{1}{2}+10\times 10\\5\times \frac{1}{2}+2\times 10\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}115\\\frac{45}{2}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة y وx.

$$y=115,x=\frac{45}{2}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$\frac{1}{5}y-x=\frac{1}{2},-\frac{1}{2}y+3x=10$$

لجعل \frac{y}{5} و-\frac{y}{2} متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -\frac{1}{2} وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في \frac{1}{5}.

$$-\frac{1}{2}\times \frac{1}{5}y-\frac{1}{2}\left(-1\right)x=-\frac{1}{2}\times \frac{1}{2},\frac{1}{5}\left(-\frac{1}{2}\right)y+\frac{1}{5}\times 3x=\frac{1}{5}\times 10$$

تبسيط.

$$-\frac{1}{10}y+\frac{1}{2}x=-\frac{1}{4},-\frac{1}{10}y+\frac{3}{5}x=2$$

اطرح -\frac{1}{10}y+\frac{3}{5}x=2 من -\frac{1}{10}y+\frac{1}{2}x=-\frac{1}{4} عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-\frac{1}{10}y+\frac{1}{10}y+\frac{1}{2}x-\frac{3}{5}x=-\frac{1}{4}-2$$

اجمع -\frac{y}{10} مع \frac{y}{10}. حذف الحدين -\frac{y}{10} و\frac{y}{10}، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$\frac{1}{2}x-\frac{3}{5}x=-\frac{1}{4}-2$$

اجمع \frac{x}{2} مع -\frac{3x}{5}.

$$-\frac{1}{10}x=-\frac{1}{4}-2$$

اجمع -\frac{1}{4} مع -2.

$$-\frac{1}{10}x=-\frac{9}{4}$$

ضرب طرفي المعادلة في -10.

$$x=\frac{45}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{45}{2} في -\frac{1}{2}y+3x=10. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$-\frac{1}{2}y+3\times \frac{45}{2}=10$$

اضرب 3 في \frac{45}{2}.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{135}{2}=10$$

اطرح \frac{135}{2} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{1}{2}y=-\frac{115}{2}$$

ضرب طرفي المعادلة في -2.

$$y=115$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=115,x=\frac{45}{2}$$