حل {l}{1/2x-4/5y=-2}{1/6x-1/3y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 2 } x - \frac { 4 } { 5 } y = - 2 } \\ { \frac { 1 } { 6 } x - \frac { 1 } { 3 } y = 2 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-68$$

$$y=-40$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$\frac{1}{2}x-\frac{4}{5}y=-2,\frac{1}{6}x-\frac{1}{3}y=2$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$\frac{1}{2}x-\frac{4}{5}y=-2$$

أضف \frac{4y}{5} إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{1}{2}x=\frac{4}{5}y-2$$

ضرب طرفي المعادلة في 2.

$$x=2\left(\frac{4}{5}y-2\right)$$

اضرب 2 في \frac{4y}{5}-2.

$$x=\frac{8}{5}y-4$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{8y}{5}-4 في المعادلة الأخرى، \frac{1}{6}x-\frac{1}{3}y=2.

$$\frac{1}{6}\left(\frac{8}{5}y-4\right)-\frac{1}{3}y=2$$

اضرب \frac{1}{6} في \frac{8y}{5}-4.

$$\frac{4}{15}y-\frac{2}{3}-\frac{1}{3}y=2$$

اجمع \frac{4y}{15} مع -\frac{y}{3}.

$$-\frac{1}{15}y-\frac{2}{3}=2$$

أضف \frac{2}{3} إلى طرفي المعادلة.

$$-\frac{1}{15}y=\frac{8}{3}$$

ضرب طرفي المعادلة في -15.

$$y=-40$$

عوّض عن y بالقيمة -40 في x=\frac{8}{5}y-4. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{8}{5}\left(-40\right)-4$$

اضرب \frac{8}{5} في -40.

$$x=-64-4$$

اجمع -4 مع -64.

$$x=-68$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-68,y=-40$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$\frac{1}{2}x-\frac{4}{5}y=-2,\frac{1}{6}x-\frac{1}{3}y=2$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{4}{5}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{4}{5}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{4}{5}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{4}{5}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{4}{5}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{4}{5}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{4}{5}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)-\left(-\frac{4}{5}\times \frac{1}{6}\right)}&-\frac{-\frac{4}{5}}{\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)-\left(-\frac{4}{5}\times \frac{1}{6}\right)}\\-\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)-\left(-\frac{4}{5}\times \frac{1}{6}\right)}&\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)-\left(-\frac{4}{5}\times \frac{1}{6}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10&-24\\5&-15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\left(-2\right)-24\times 2\\5\left(-2\right)-15\times 2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-68\\-40\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-68,y=-40$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$\frac{1}{2}x-\frac{4}{5}y=-2,\frac{1}{6}x-\frac{1}{3}y=2$$

لجعل \frac{x}{2} و\frac{x}{6} متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في \frac{1}{6} وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في \frac{1}{2}.

$$\frac{1}{6}\times \frac{1}{2}x+\frac{1}{6}\left(-\frac{4}{5}\right)y=\frac{1}{6}\left(-2\right),\frac{1}{2}\times \frac{1}{6}x+\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)y=\frac{1}{2}\times 2$$

تبسيط.

$$\frac{1}{12}x-\frac{2}{15}y=-\frac{1}{3},\frac{1}{12}x-\frac{1}{6}y=1$$

اطرح \frac{1}{12}x-\frac{1}{6}y=1 من \frac{1}{12}x-\frac{2}{15}y=-\frac{1}{3} عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$\frac{1}{12}x-\frac{1}{12}x-\frac{2}{15}y+\frac{1}{6}y=-\frac{1}{3}-1$$

اجمع \frac{x}{12} مع -\frac{x}{12}. حذف الحدين \frac{x}{12} و-\frac{x}{12}، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-\frac{2}{15}y+\frac{1}{6}y=-\frac{1}{3}-1$$

اجمع -\frac{2y}{15} مع \frac{y}{6}.

$$\frac{1}{30}y=-\frac{1}{3}-1$$

اجمع -\frac{1}{3} مع -1.

$$\frac{1}{30}y=-\frac{4}{3}$$

ضرب طرفي المعادلة في 30.

$$y=-40$$

عوّض عن y بالقيمة -40 في \frac{1}{6}x-\frac{1}{3}y=2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$\frac{1}{6}x-\frac{1}{3}\left(-40\right)=2$$

اضرب -\frac{1}{3} في -40.

$$\frac{1}{6}x+\frac{40}{3}=2$$

اطرح \frac{40}{3} من طرفي المعادلة.

$$\frac{1}{6}x=-\frac{34}{3}$$

ضرب طرفي المعادلة في 6.

$$x=-68$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-68,y=-40$$