حل {c}{y-3x+15=10}{6-4x=y}

$$\left. \begin{array} { c } { y - 3 x + 15 = 10 } \\ { 6 - 4 x = y } \end{array} \right.$$

حل مسائل y، x

$$x = \frac{11}{7} = 1\frac{4}{7} \approx 1.571428571$$

$$y=-\frac{2}{7}\approx -0.285714286$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 15 من الطرفين.

$$y-3x=10-15$$

اطرح 15 من 10 لتحصل على -5.

$$y-3x=-5$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح y من الطرفين.

$$6-4x-y=0$$

اطرح 6 من الطرفين. حاصل طرح أي عدد من الصفر يكون القيمة السالبة للعدد نفسه.

$$-4x-y=-6$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$y-3x=-5,-y-4x=-6$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة y بعزل y على يسار علامة التساوي.

$$y-3x=-5$$

أضف 3x إلى طرفي المعادلة.

$$y=3x-5$$

عوّض عن y بالقيمة 3x-5 في المعادلة الأخرى، -y-4x=-6.

$$-\left(3x-5\right)-4x=-6$$

اضرب -1 في 3x-5.

$$-3x+5-4x=-6$$

اجمع -3x مع -4x.

$$-7x+5=-6$$

اطرح 5 من طرفي المعادلة.

$$-7x=-11$$

قسمة طرفي المعادلة على -7.

$$x=\frac{11}{7}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{11}{7} في y=3x-5. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y=3\times \frac{11}{7}-5$$

اضرب 3 في \frac{11}{7}.

$$y=\frac{33}{7}-5$$

اجمع -5 مع \frac{33}{7}.

$$y=-\frac{2}{7}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=-\frac{2}{7},x=\frac{11}{7}$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 15 من الطرفين.

$$y-3x=10-15$$

اطرح 15 من 10 لتحصل على -5.

$$y-3x=-5$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح y من الطرفين.

$$6-4x-y=0$$

اطرح 6 من الطرفين. حاصل طرح أي عدد من الصفر يكون القيمة السالبة للعدد نفسه.

$$-4x-y=-6$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$y-3x=-5,-y-4x=-6$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-\left(-3\left(-1\right)\right)}&-\frac{-3}{-4-\left(-3\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{-4-\left(-3\left(-1\right)\right)}&\frac{1}{-4-\left(-3\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7}&-\frac{3}{7}\\-\frac{1}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7}\left(-5\right)-\frac{3}{7}\left(-6\right)\\-\frac{1}{7}\left(-5\right)-\frac{1}{7}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}\\\frac{11}{7}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة y وx.

$$y=-\frac{2}{7},x=\frac{11}{7}$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 15 من الطرفين.

$$y-3x=10-15$$

اطرح 15 من 10 لتحصل على -5.

$$y-3x=-5$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح y من الطرفين.

$$6-4x-y=0$$

اطرح 6 من الطرفين. حاصل طرح أي عدد من الصفر يكون القيمة السالبة للعدد نفسه.

$$-4x-y=-6$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$y-3x=-5,-y-4x=-6$$

لجعل y و-y متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$-y-\left(-3x\right)=-\left(-5\right),-y-4x=-6$$

تبسيط.

$$-y+3x=5,-y-4x=-6$$

اطرح -y-4x=-6 من -y+3x=5 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-y+y+3x+4x=5+6$$

اجمع -y مع y. حذف الحدين -y وy، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$3x+4x=5+6$$

اجمع 3x مع 4x.

$$7x=5+6$$

اجمع 5 مع 6.

$$7x=11$$

قسمة طرفي المعادلة على 7.

$$x=\frac{11}{7}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{11}{7} في -y-4x=-6. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$-y-4\times \frac{11}{7}=-6$$

اضرب -4 في \frac{11}{7}.

$$-y-\frac{44}{7}=-6$$

أضف \frac{44}{7} إلى طرفي المعادلة.

$$-y=\frac{2}{7}$$

قسمة طرفي المعادلة على -1.

$$y=-\frac{2}{7}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=-\frac{2}{7},x=\frac{11}{7}$$