حل {c}{y=.5x+2}{x+3y=1}

$$\left. \begin{array} { c } { y = .5 x + 2 } \\ { x + 3 y = 1 } \end{array} \right.$$

حل مسائل y، x

$$x=-2$$

$$y=1$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 0.5x من الطرفين.

$$y-0.5x=2$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$y-0.5x=2,3y+x=1$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة y بعزل y على يسار علامة التساوي.

$$y-0.5x=2$$

أضف \frac{x}{2} إلى طرفي المعادلة.

$$y=0.5x+2$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{x}{2}+2 في المعادلة الأخرى، 3y+x=1.

$$3\left(0.5x+2\right)+x=1$$

اضرب 3 في \frac{x}{2}+2.

$$1.5x+6+x=1$$

اجمع \frac{3x}{2} مع x.

$$2.5x+6=1$$

اطرح 6 من طرفي المعادلة.

$$2.5x=-5$$

اقسم طرفي المعادلة على 2.5، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$x=-2$$

عوّض عن x بالقيمة -2 في y=0.5x+2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y=0.5\left(-2\right)+2$$

اضرب 0.5 في -2.

$$y=-1+2$$

اجمع 2 مع -1.

$$y=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=1,x=-2$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 0.5x من الطرفين.

$$y-0.5x=2$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$y-0.5x=2,3y+x=1$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&-0.5\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&-0.5\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-0.5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-0.5\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-0.5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-0.5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-0.5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

في المصفوفة 2\times 2 في هذا المثال \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة هي \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمسألة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-0.5\times 3\right)}&-\frac{-0.5}{1-\left(-0.5\times 3\right)}\\-\frac{3}{1-\left(-0.5\times 3\right)}&\frac{1}{1-\left(-0.5\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0.4&0.2\\-1.2&0.4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0.4\times 2+0.2\\-1.2\times 2+0.4\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة y وx.

$$y=1,x=-2$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 0.5x من الطرفين.

$$y-0.5x=2$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$y-0.5x=2,3y+x=1$$

لجعل y و3y متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$3y+3\left(-0.5\right)x=3\times 2,3y+x=1$$

تبسيط.

$$3y-1.5x=6,3y+x=1$$

اطرح 3y+x=1 من 3y-1.5x=6 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$3y-3y-1.5x-x=6-1$$

اجمع 3y مع -3y. حذف الحدين 3y و-3y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-1.5x-x=6-1$$

اجمع -\frac{3x}{2} مع -x.

$$-2.5x=6-1$$

اجمع 6 مع -1.

$$-2.5x=5$$

اقسم طرفي المعادلة على -2.5، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$x=-2$$

عوّض عن x بالقيمة -2 في 3y+x=1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$3y-2=1$$

أضف 2 إلى طرفي المعادلة.

$$3y=3$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$y=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=1,x=-2$$